Как найти мощность множеств?

[x0rr]

Руст
а что такое носитель и вес функции?

[Руст]

Я предлагал функции вида:

$$\int_0^x \sum_i a_i \delta(y-y_i)$$

. Соответственно носители (где происходят скачки самой функции, а производная сосредоточена там) это точки $y_i$, а веса в этих точках $a_i$. Взяв в качестве носителей точки вида: $y_i=\frac{p_i}{2^k}$, а веса в этих точках зависящей только от k я строил нетривиальные примеры.
Вот ещё один пример функции f(x), принимающей рациональные значения в рациональных точках: Для этого определим функция в интервале (0,1) (дальше можно продолжать). Действительное число х можно записать в виде:

$$x=\sum_{k=1}^{\infty } b_k2^{-k}, b_i\in\{0,1\}.$$

Цифрам поставим в соответствие последовательность $m_i$, означающее количество нулей между i - ой 1 и i-1 -ой (при i=1 количество нулей до первой 1. Пусть s(x) функция принимающая неотрицательные целые значения при неотрицательных целых аргументах и s(x)>x. Поставим в соответствие числу х последовательность: $f(x)=\sum_k c_k2^{-k},c_k\in \{0,1\}$, где количество нулей между i- ой 1 и i-1 - ой 1 в последовательности $c_i$ вычисляется как: $s(m_i).$ Для чисел (где происходят разрывы функции) которые могут быть записаны двумя способами одними нулями в конце или одними 1 начиная с некоторого номера при вычислении функции договоримся брать вид заканчивающийся на нули. Легко проверить, что при любой функции s(x)>x функция f(x) получается принимающим рациональные значения при рациональных значениях аргумента, к тому же во всех точках где непрерывно эта функция имеет все производные равные нулю при s(x)>x^2.

[Руст]

Можно построить бесконечно дифференцируемую неаналитическую функцию принимающую рациональные значения в рациональных точках. Для этого определим функцию f(x) в точке $x=b_i2^{-i}$ таким образом:
$$f(x)=f_1(x)-f_2(x),f_1(x)=\sum_i c_i2^i,f_2(x)=\sum_i a_i d(x-x_i), d(x)=0,x<0>K$. Ясно, что первая функция принимает рациональные значения в рациональных точках и имеет разрывы только в точках $y=2^{-n_1}+2^{-n_2}+...+2^{-n_K},0<n_1<n_2<...<n_K$ и разрыв в такой точке равен

$$2^{-l_1}-2^{-l_2},l_1=K+\sum_{i=1}^K m_i(m_i+1),l_2=l_1+2(m_K+1)$$

. Здесь $m_i$ количество нулей между i-ой цифрой 1в х и i-1-ой 1 в х. Функцию $f_2(x)$ определим как функцию разрывов первой функции. Легко понять, что ряд Тейлора для разницы есть линейная функция, коэффициенты которых разные в разных точках.
Если функция аналитическая в некоторой окрестности 0 и принимает рациональные значения в рациональных точках этой окрестности, то она является отношением двух полиномов. Идея доказательства в том, чтобы показать, что для ряда Тейлора $f(x)=a_ix^i$ в этом случае имеет место некоторое рациональное рекурентное соотношение: $a_n=\sum_i r_ia_{n-k}$ начиная с некоторого номера. Все такие функции и только они являются рядом Тейлора рациональных функций.