Как найти мощность множеств?

[Leox]

1. Множества всех монотоных последовательностей из R в R?
2. Множества всех тех непрерывных отображений из [0,1] в [0,1]
которые в рациональных точках принимают рациональные значения?

[Dan B-Yallay]

1) Очевидная оценка:

$|\{(x_1,0,0,0...) : x_1 \in \mathbb{R}\}| \le |\{(x_1,x_2,x_3...) : x_n-\ monotone\}| \le |\mathbb {R}^\mathbb{N}|

но слева и справа стоит континуум

2) Во второй задаче идея состоит в том, что имеется множество отображений счетного множества в/на счетное.
Попробуйте решить и посмотрите что получится.

[er]

Leox писал(а):

1. Множества всех монотоных последовательностей из R в R?

Не понятно, про что речь.

Да, как ни понимай, континуум..

Leox писал(а):

2. Множества всех тех непрерывных отображений из [0,1] в [0,1]
которые в рациональных точках принимают рациональные значения?

Понятно, не более континуума.

И не менее. Непрерывные функции $[0,1]\to[0,1]$, которые в рациональных точках принимают рациональные значения, в иррациональных точках могут принимать любые значения из [0,1].

[Dan B-Yallay]

Цитата:

в иррациональных точках могут принимать любые значения из [0,1].

В том то и дело, что не любые. Функция должна быть непрерывной, поэтому значения в иррациональных точках однозначно задаются пределами значений в рациональных. Следовательно континуум, и не более.

Если снять трeбование непрерывности, получим $[2^\mathbb{N}]^ {2^\mathbb{N}} ,$ а это уже бoльше континуума.

[er]

Dan B-Yallay писал(а):

Цитата:

в иррациональных точках могут принимать любые значения из [0,1].

В том то и дело, что не любые. Функция должна быть непрерывной, поэтому значения в иррациональных точках однозначно задаются пределами значений в рациональных. Следовательно континуум, и не более.

Если снять трeбование непрерывности, получим $[2^\mathbb{N}]^ {2^\mathbb{N}} ,$ а это уже бoльше континуума.

Это то понятно, что не более $2^{\aleph_0}$. Так как мощность множества всех непрерывных функций равна $2^{\aleph_0}$.

В этой задачке более интересная часть: показать, что искомых функций не менее $2^{\aleph_0}$.

[незваный гость]

er писал(а):

Это то понятно, что не более $2^{\aleph_0}$. Так как мощность множества всех непрерывных функций равна $2^{\aleph_0}$.

В этой задачке более интересная часть: показать, что искомых функций не менее $2^{\aleph_0}$.

Очевидная часть состоит в том, что функций не не более ${2^\mathbb N} \ll 2^{\aleph_0}$. Вы правы, менее очевидная часть -- что их хотя бы $2^{\mathbb N} $.

[Dan B-Yallay]

Берем последовательность $ \{ 1/n \}$

Рассмотрим множество кусочно-линейных непрерывных (другими словами - ломаных) функций сходящихся к нулю при $ x \rightarrow 0 $ таких, что

$$f(0) = 0, \ \ \ f(1) >1, \ \ \ \ \forall n : \ 0 < f(\frac {1} {n+1}) < \frac {f(\frac {1} {n})} {2} $$

и

$ \forall n \ f(\frac {1} {n}) \in \mathbb{Q}

Очевидно, что в рац. точках эти функции принимают рац. значения и количество их не менее континуума.

[Trueman]

Dan B-Yallay писал(а):

Берем последовательность $ \{ 1/n \}$

Рассмотрим множество кусочно-линейных непрерывных (другими словами - ломаных) функций сходящихся к нулю при $ x \rightarrow 0 $ таких, что

$$f(0) = 0, \ \ \ f(1) >1, \ \ \ \ \forall n : \ 0 < f(\frac {1} {n+1}) < \frac {f(\frac {1} {n})} {2} $$

и

$ \forall n \ f(\frac {1} {n}) \in \mathbb{Q}

Очевидно, что в рац. точках эти функции принимают рац. значения и количество их не менее континуума.

Можно подробнее почему их не менее континууиа? Как то не очень очевидно)). Почему то кажется очевидным другое.

[Dan B-Yallay]

Наверное будет проще если взять другие ломаные функции, скажем

$$f(0) = 0, \ \ \ f(1) >1, \ \ \ \ \forall n : \frac {1} {2^{n+1}} < f(\frac {1} {n}) < \frac {1} {2^n} $$

с тем же условием

$ \forall n \ f(\frac {1} {n}) \in \mathbb{Q} \bigcap ( \frac {1} {2^{n+1}} , \ \frac {1} {2^n}) $ , естественно $n$ - целое положительное.

Тогда для точки $ x=1 $ получаем $ \mathbb{N}$ различных функций, так как мощность множества рац. чисел между 1/2 и 1 (и вообще на любом ненулевом интервале) счетно

Для двух точек $x_1 = 1, \ x_2 = 1/2$ уже $ \mathbb{N} \times \mathbb{N} = \mathbb{N}^2$ различных функций, для трех соответственно $ \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} = \mathbb{N}^3 $ и так далее. Для всей последовательности 1/n получаем

$ \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} ... = {\mathbb{N}}^{\mathbb{N}} = 2^\mathbb{N}$ то есть континуум.

Не стал совсем уж до деталей доходить, но идея я думаю ясна.

[er]

Так тоже можно. Но то что я предложил, нагляднее

er писал(а):

Непрерывные функции $[0,1]\to[0,1]$, которые в рациональных точках принимают рациональные значения, в иррациональных точках могут принимать любые значения из $[0,1]$.

Формально это высказывание так переписывается.

Утверждение. Для любого иррационального $q\in [0,1]$ и любого $p\in[0,1]$ существует непрерывная функция $f:[0,1]\to [0,1]$, для которой $f(q)=p$ и которая во всех рациональных точках принимает рациональные значения.
Доказательство. Зафиксируем последовательность $(p_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset [0,1]$ рациональных чисел, сходящиеюся к точке $p$. Возмем возрастающию последовательность $(r_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset (0,q)$ рациональных чисел, сходящиеюся к точке $q$. Определим кусочно линейную функцию $f_l:[0,q)\to[0,1]$:

$$ f_l(x)= \left\{ \begin{array}{ccc} p_1 \frac{x}{r_1} & x\in [0,r_1)\\ p_n\frac{r_{n+1}-x}{r_{n+1}-r_n} + p_{n+1}\frac{x-r_{n}}{r_{n+1}-r_n} & \exists n\in \mathbb{N}\ \ x\in [r_n,r_{n+1}) \\ \end{array} $$

Функция $f_l$ непрерывна на $[0,q)$, принимает рациональные значения в рациональных точках и $\lim_{x\to q}f_l(x)=p$. Аналогично определим функцию $f_r$, непрерывную на $(q,1]$, принимающию рациональные значения в рациональных точках и для которой $\lim_{x\to q}f_r(x)=p$. Определим $f:[0,1]\to[0,1]$:

$$ f(x)= \left\{ \begin{array}{ccc} f_l(x) & x\in [0,q)\\ p & x=q\\ f_r(x) & x\in (q,1]\\ \end{array} $$

Интересно, сколько вещественно аналитических фукций на отрезке, принимающих рациональные значения в рациональных точках.

[Trueman]

er писал(а):

Интересно, сколько вещественно аналитических фукций на отрезке, принимающих рациональные значения в рациональных точках.

Вроде бы всякая непрерывная функция принимающая в рациональных точках рациональные значения должна быть кусочно-линейной ?

[Dan B-Yallay]

$f(x) = x^2 \ \ \ or \ \ \ f(x) = x^n \ \ \ \forall n \in \mathbb {N} $

[er]

er писал(а):

Интересно, сколько вещественно аналитических фукций на отрезке, принимающих рациональные значения в рациональных точках.

Dan B-Yallay писал(а):

$f(x) = x^2 \ \ \ or \ \ \ f(x) = x^n \ \ \ \forall n \in \mathbb {N} $

Ограничемся целыми функциями (чтоб с дробно рациональными не возится).

Кроме многочленов (с рациональными коэфицентами) есть ли еще какие-нибуть целые функции, которые в рациональных точках принимают рациональныые значения?

[er]

Trueman писал(а):

er писал(а):

Интересно, сколько вещественно аналитических фукций на отрезке, принимающих рациональные значения в рациональных точках.

Вроде бы всякая непрерывная функция принимающая в рациональных точках рациональные значения должна быть кусочно-линейной ?

Не так, конечно. Но не понятно, может быть любая такая функция аналитична на некотором отрезке?

[Руст]

Думаю, что любая такая функция есть отношение двух полиномов с целыми коэффициентами.