Я предлагал функции вида:

. Соответственно носители (где происходят скачки самой функции, а производная сосредоточена там) это точки

, а веса в этих точках

. Взяв в качестве носителей точки вида:

, а веса в этих точках зависящей только от k я строил нетривиальные примеры.
Вот ещё один пример функции f(x), принимающей рациональные значения в рациональных точках: Для этого определим функция в интервале (0,1) (дальше можно продолжать). Действительное число х можно записать в виде:

Цифрам поставим в соответствие последовательность

, означающее количество нулей между i - ой 1 и i-1 -ой (при i=1 количество нулей до первой 1. Пусть s(x) функция принимающая неотрицательные целые значения при неотрицательных целых аргументах и s(x)>x. Поставим в соответствие числу х последовательность:

, где количество нулей между i- ой 1 и i-1 - ой 1 в последовательности

вычисляется как:

Для чисел (где происходят разрывы функции) которые могут быть записаны двумя способами одними нулями в конце или одними 1 начиная с некоторого номера при вычислении функции договоримся брать вид заканчивающийся на нули. Легко проверить, что при любой функции s(x)>x функция f(x) получается принимающим рациональные значения при рациональных значениях аргумента, к тому же во всех точках где непрерывно эта функция имеет все производные равные нулю при s(x)>x^2.