Помогите разобраться с интегрированием (от сложного основани

[nechaeff]

Думаю вопрос ламерский, но для меня жизненно важный, благодарен заранее за развернутый ответ.
Вопрос: можете объяснить на пальцах как брать интегралы от сложного основания, например:

$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1xd(\arcsin x)$$

что вообще значит интеграл по основанию \arcsin x , \arccos x, \arctg x. И как их решать.

[Someone]

А что там обозначает буковка $d$?

P.S. Какие-то странные у Вас пределы интегрирования...

P.P.S. В Вашей формуле неправильно расставлены знаки доллара: внутри формулы никаких знаков доллара не должно быть. Поэтому сделайте либо по одному доллару в начале и в конце формулы, либо по два. Арксинус кодируется так же, как и многие другие общеупотребляемые функции: \arcsin x.

$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1xd(\arcsin x)$$

$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1xd(\arcsin x)$$

[nechaeff]

все поправил, спасибо,

первоначальный вид интеграла был такой:

$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1{x\sqrt{x^2-1}}d(x)$$

однако, вопрос по основаниям у меня все равно остался

[e7e5]

nechaeff писал(а):

первоначальный вид интеграла был такой:

$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1{x\sqrt{x^2-1}}d(x)$$

Можно ли сделать подстановку $x=\sin^{-1}t$, c учетом того, что $x>1$?

[gris]

Кроме того, $d\arcsin x= \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}}$

но тут можно схитрить и попробовать вначале сделать подстановку $x=1/t$. Намёк как раз в пределах интегрирования. А потом ещё одну очевидную подстановку.

[Henrylee]

nechaeff писал(а):

все поправил, спасибо,

первоначальный вид интеграла был такой:

$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1{x\sqrt{x^2-1}}d(x)$$

однако, вопрос по основаниям у меня все равно остался

Подстановка $x^2-1=p^2$.
Какие еще "основания"? Если по функциям, то вопрос слишком общий - каждый раз по-своему.

[gris]

Насчёт "оснований" могу посоветовать метод из анекдота про кипячение воды в чайнике.

$$\int g(x)dF(x)= \int g(x) F'(x) dx$$

Но в Вашем случае Вы просто поспешили с занесением функции под знак дифференциала и немножко запутались с внешне похожими функциями

$$y=\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{ и }y=\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}$$

.

У них совершенно разные первообразные.

[nechaeff]

to Henrylee спасибо, подстановка хорошая, но это задача из теста, и ответы даны в радианах, а следуя данной подстановке получается в логарифмах.

to gris сделал замену на t, но вот вторая очевидная подстановка для меня совсем не очевидна
получилось

$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}} {2}}^\frac 12\frac {d(t)}{t\sqrt{1-t^2}}$$

[gris]

Я с другого конца зайду

$$\left(\arccos\frac1x\right)'=\frac{1}{x^2\sqrt {1-\frac1{x^2}}} =\frac{1}{x\cdot x\sqrt {1-\frac1{x^2}}} =... $$

То есть вторая замена $y=\arccos t$ , а с первой что-то немного напутали.

[ewert]

nechaeff в сообщении #199669 писал(а):

to Henrylee спасибо, подстановка хорошая, но это задача из теста, и ответы даны в радианах, а следуя данной подстановке получается в логарифмах.

Совершенно верно, именно в логарифмах, и никаких радиан (кстати, и в оригинальной версии тоже -- от знака тут мало что зависит).

Что поделать, встречаются кто-то кое-где у нас порой с подобными тестами. И чем дальше -- тем чаще встречаются. Так ведь на то они и тесты. Требовать от тестов ещё и разумности -- не политкорректно.

[nechaeff]

gris спасибо большое!
перейти к

$$ t= \frac 1x$$

, дальше получить вот такой интеграл

$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}2}^\frac 12\left.\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arccos t\right|_{\frac{\sqrt{2}}2}^{\frac 12}=\frac{\pi}{12}$$

Всем спасибо за помощь!

[Brukvalub]

nechaeff в сообщении #199731 писал(а):

перейти к

$$ t= \frac 1x$$

, дальше получить вот такой интеграл

$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}} {2}}^\frac 12\frac {d(t)}{\sqrt{1-t^2}}$$

=\arccos t {\right|}

Странно, определенный интеграл зависит от переменной....

[nechaeff]

to Brukvalub я не нашел как написать вертикальную черту с пределами интегрирования в коде, поэтому так оставил.

Интеграл равен Pi/12

[Jnrty]

Brukvalub в сообщении #199765 писал(а):

не нашел как написать вертикальную черту с пределами интегрирования

А зачем Вы написали

[math]=\arccos t {\right|}[/math]

если было нужно написать

$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}2}^\frac 12\left.\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arccos t\right|_{\frac{\sqrt{2}}2}^{\frac 12}$$

?

$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}2}^\frac 12\left.\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arccos t\right|_{\frac{\sqrt{2}}2}^{\frac 12}$$

Обратите внимание на использование команд "\left." и "\right|". Эти команды всегда должны быть парными.

P.S. Интеграл действительно равен $\frac{\pi}{12}$.

$\frac{\pi}{12}$

[nechaeff]

Jnrty спасибо, поправил