2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Помогите разобраться с интегрированием (от сложного основани
Сообщение28.03.2009, 00:25 
Думаю вопрос ламерский, но для меня жизненно важный, благодарен заранее за развернутый ответ.
Вопрос: можете объяснить на пальцах как брать интегралы от сложного основания, например:
$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1xd(\arcsin x)$$

что вообще значит интеграл по основанию \arcsin x , \arccos x, \arctg x. И как их решать.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 00:32 
Аватара пользователя
А что там обозначает буковка $d$?

P.S. Какие-то странные у Вас пределы интегрирования...

P.P.S. В Вашей формуле неправильно расставлены знаки доллара: внутри формулы никаких знаков доллара не должно быть. Поэтому сделайте либо по одному доллару в начале и в конце формулы, либо по два. Арксинус кодируется так же, как и многие другие общеупотребляемые функции: \arcsin x.

$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1xd(\arcsin x)$$

Код:
$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1xd(\arcsin x)$$

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 00:55 
все поправил, спасибо,

первоначальный вид интеграла был такой:
$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1{x\sqrt{x^2-1}}d(x)$$

однако, вопрос по основаниям у меня все равно остался

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 08:47 
nechaeff писал(а):

первоначальный вид интеграла был такой:
$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1{x\sqrt{x^2-1}}d(x)$$



Можно ли сделать подстановку $x=\sin^{-1}t$, c учетом того, что $x>1$?

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 09:06 
Аватара пользователя
Кроме того, $d\arcsin x= \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}}$

но тут можно схитрить и попробовать вначале сделать подстановку $x=1/t$. Намёк как раз в пределах интегрирования. А потом ещё одну очевидную подстановку.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 09:21 
Аватара пользователя
nechaeff писал(а):
все поправил, спасибо,

первоначальный вид интеграла был такой:
$$\int\limits_{\sqrt{2}}^2\frac 1{x\sqrt{x^2-1}}d(x)$$

однако, вопрос по основаниям у меня все равно остался


Подстановка $x^2-1=p^2$.
Какие еще "основания"? Если по функциям, то вопрос слишком общий - каждый раз по-своему.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 09:52 
Аватара пользователя
Насчёт "оснований" могу посоветовать метод из анекдота про кипячение воды в чайнике.

$$\int g(x)dF(x)= \int g(x) F'(x) dx$$ :)

Но в Вашем случае Вы просто поспешили с занесением функции под знак дифференциала и немножко запутались с внешне похожими функциями

$$y=\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{ и }y=\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}$$.

У них совершенно разные первообразные.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 19:15 
to Henrylee спасибо, подстановка хорошая, но это задача из теста, и ответы даны в радианах, а следуя данной подстановке получается в логарифмах.

to gris сделал замену на t, но вот вторая очевидная подстановка для меня совсем не очевидна :(
получилось

$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}} {2}}^\frac 12\frac {d(t)}{t\sqrt{1-t^2}}$$

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 20:59 
Аватара пользователя
Я с другого конца зайду
$$\left(\arccos\frac1x\right)'=\frac{1}{x^2\sqrt {1-\frac1{x^2}}} =\frac{1}{x\cdot x\sqrt {1-\frac1{x^2}}} =... $$

То есть вторая замена $y=\arccos t$ :), а с первой что-то немного напутали.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 21:08 
nechaeff в сообщении #199669 писал(а):
to Henrylee спасибо, подстановка хорошая, но это задача из теста, и ответы даны в радианах, а следуя данной подстановке получается в логарифмах.

Совершенно верно, именно в логарифмах, и никаких радиан (кстати, и в оригинальной версии тоже -- от знака тут мало что зависит).

Что поделать, встречаются кто-то кое-где у нас порой с подобными тестами. И чем дальше -- тем чаще встречаются. Так ведь на то они и тесты. Требовать от тестов ещё и разумности -- не политкорректно.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 22:09 
gris спасибо большое!
перейти к $$ t= \frac 1x$$, дальше получить вот такой интеграл
$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}2}^\frac 12\left.\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arccos t\right|_{\frac{\sqrt{2}}2}^{\frac 12}=\frac{\pi}{12}$$

Всем спасибо за помощь!

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 23:39 
Аватара пользователя
nechaeff в сообщении #199731 писал(а):
перейти к $$ t= \frac 1x$$, дальше получить вот такой интеграл
$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}} {2}}^\frac 12\frac {d(t)}{\sqrt{1-t^2}}$$

=\arccos t {\right|}
Странно, определенный интеграл зависит от переменной....

 
 
 
 
Сообщение28.03.2009, 23:44 
to Brukvalub я не нашел как написать вертикальную черту с пределами интегрирования в коде, поэтому так оставил.

Интеграл равен Pi/12

 
 
 
 
Сообщение29.03.2009, 00:15 
Brukvalub в сообщении #199765 писал(а):
не нашел как написать вертикальную черту с пределами интегрирования


А зачем Вы написали

Код:
[math]=\arccos t {\right|}[/math]


если было нужно написать
$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}2}^\frac 12\left.\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arccos t\right|_{\frac{\sqrt{2}}2}^{\frac 12}$$?

Код:
$$-\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}2}^\frac 12\left.\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\arccos t\right|_{\frac{\sqrt{2}}2}^{\frac 12}$$


Обратите внимание на использование команд "\left." и "\right|". Эти команды всегда должны быть парными.

P.S. Интеграл действительно равен $\frac{\pi}{12}$.

Код:
$\frac{\pi}{12}$

 
 
 
 
Сообщение29.03.2009, 02:43 
Jnrty спасибо, поправил

 
 
 [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group