Неопределенная сумма и неопределенное произведение

[Xaositect]

В общем случае сумма может не выражаться в элементарных функциях, так же, как и интеграл.
Про методы суммирования можно посмотреть в "Конкретной математике"

[Nxx]

А есть у этого оператора какое-нибудь общепринятое обозначение? А то в Википедии я не нашел.

[Xaositect]

Nxx в сообщении #199333 писал(а):

Как видишь, будет неопределенность.

$\Delta(\lfloor x\rfloor cos(2\pi x)) = \lfloor x+1\rfloor cos(2\pi (x+1)) - \lfloor x\rfloor cos(2\pi x) =$
$= \lfloor x+1\rfloor cos(2\pi x) - \lfloor x\rfloor cos(2\pi x) = cos(2\pi x)(\lfloor x+1\rfloor - \lfloor x\rfloor) = cos(2\pi x)$
А значит,
$S[cos(2\pi x)] = \lfloor x\rfloor cos(2\pi x) + C(x),$
где $C(x)$ - периодическая с периодом 1
Сумма вообще определена с точность до слагаемого с периодом 1. Так же, как интеграл - с точностью до константы.

Добавлено спустя 42 секунды:

Nxx писал(а):

А есть у этого оператора какое-нибудь общепринятое обозначение? А то в Википедии я не нашел.

Кнут обозначает что-то похожее $\Sigma f(x)\delta x$

[Nxx]

Не понял. Откуда $x$ с уголками взялся?

[Xaositect]

Nxx писал(а):

Не понял. Откуда $x$ с уголками взялся?

Я его сам взял
там можно просто $x$ поставить, все равно будет верно

[Nxx]

Во-первых, я считал сумму, а не конечную разность, во-вторых, считал обратную $\nabla$. Естественно, сумма определена с точностью до константы (не обязательно кратной 1). Просто я рассматривал сумму от нуля до x и x-1 (первая обратна набле, вторая - дельте).

[Xaositect]

Ну, $S_{\nabla}$ у вас обратен $\nabla$?
А разность вперед брать или назад - в моих выкладках тоже несущественно.

[Nxx]

Цитата:

Ну, $S_{\nabla}$ у вас обратен $\nabla$?

Да, могу посчитать обратный дельте.

[Xaositect]

Nxx в сообщении #199363 писал(а):

Естественно, сумма определена с точностью до константы (не обязательно кратной 1).

Не константы, не кратной 1, а функции, периодической с периодом 1

[Nxx]

Да нет, вы неправильно считаете. $\cos (2\pi x) $ не может быть сам себе и суммой и разностью.

[Xaositect]

Nxx писал(а):

Да нет, вы неправильно считаете. $\cos (2\pi x) $ не может быть сам себе и суммой и разностью.

А я такого и не пишу
$\Delta \cos(2\pi x) = 0$
$S[\cos(2\pi x)] = x\cos(2\pi x) + C(x)$

[Nxx]

Вот правильная формула:
$-\frac{1}{2} \cos (a x)+\frac{1}{2} \cot \left(\frac{a}{2}\right) \sin (a x)+\frac{1}{2}$

Определен только в целых х, да и то надо брать предел $a\to 2\pi$. Это для суммы, обратной дельте.

Добавлено спустя 6 минут 26 секунд:

Монотонно возрастающей функцией, как у тебя, это в принципе быть не может иначе взяв дельту мы бы не получили косинус, который бывает и отрицательным.

[Xaositect]

Nxx в сообщении #199374 писал(а):

Монотонно возрастающей функцией, как у тебя, это в принципе быть не может иначе взяв дельту мы бы не получили косинус, который бывает и отрицательным.

$x\cos(2\pi x)$ - не монотонная функция

[Nxx]

Ну в любом случае, она более-менее возрастающая, значит, ее дельта должна быть большей частью положительной. А косинус одинаково бывает как положительным, так и отрицательным.

[Xaositect]

Она не более-менее возрастающая.
Она имеет нули в целых точках, а между ними дуги в положительную и отрицательную сторону.
Кажется, ты путаешь с $x+\cos(2\pi x)$