Неопределенная сумма и неопределенное произведение

[Nxx]

Я заметил, что для вот такого выражения:

$$S[f]=\sum _{z=0}^x f(z)$$

при определенных функциях $f(x)$ Mathematica возвращает аналитические функции. В частности,

$$ f(x)=x $$

$$ S[f]=\frac{x}{2} + \frac{x^2}{2} $$

$$ f(x)=a $$

$$ S[f]=ax $$

$$ f(x)=\sin x $$

$$ S[f]=-\frac{1}{2} \cos x \cot\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{\sin x}{2} $$

$$ f(x)=x^2 $$

$$ S[f]=\frac{x}{6} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} $$

$$ f(x)=e^x $$

$$ S[f]=\frac{e^{1 + x}}{e-1} $$

$$ f(x)=e^{-x} $$

$$ S[f]=\frac{e}{e-1}-\frac{e^{-x}}{e-1} $$

$$ f(x)=\ln x $$

$$ S[f]=-\zeta' (0)+\ln (\Gamma (x+1))-\frac{1}{2} \ln (2 \pi ) $$

$$ f(x)=\frac{\sin x}{x} $$

$$ S[f]=\frac{1}{2} \left(-i e^{-i (x+2)} \zeta (1,x+1)+i e^{i (x+2)} \zeta (1,x+1) +\pi +1\right) $$

$$ f(x)=\sh x $$

$$ S[f]=\frac{1}{2} \left(\text{csch}\left(\frac{1}{2}\right) \ch \left(x+\frac{1}{2}\right)-\cth \left(\frac{1}{2}\right)\right) $$

Для некоторых функций (например, $\tg x$,

$$\frac{x+1}{x-1}$$

,

$$x^x$$

,

$$\frac{1}{x}$$

), $S[f]$ не находится. Интересно, есть ли общее правило для нахождения этого оператора?

[ИСН]

Замените x на n, хоть станет смотреть приятнее. Что может свернуть, то и находит, а что нет - то извините.

[Nxx]

А можно ли этот оператор выразить через интегралы?

Дело в том, что мне попалось дифференциальное уравнение, где участвует вот такой оператор. Кстати, он же вроде, линейный?

Добавлено спустя 13 минут 45 секунд:

Цитата:

Замените x на n, хоть станет смотреть приятнее.

Речь как раз о том, можно ли обобщить

$$S[f]=\sum _{z=0}^x f(z)$$

на область всех действительных $x$.

Добавлено спустя 1 час 8 минут 37 секунд:

Кто-нибудь сможет построить матрицу этого оператора?

[gris]

Предлагаю такой вариант обобщения:

$$S(f)=\int\limits_0^x f(t)dt$$

Оператор линейный, симпатичный.

[Nxx]

gris писал(а):

Предлагаю такой вариант обобщения:

$$S(f)=\int\limits_0^x f(t)dt$$

Оператор линейный, симпатичный.

Только другой.

[gris]

Тогда

$$S(f)=\int\limits_0^x f^{stup}(t)dt$$

где $f^{stup}$ это очевидным способом полученная из $f$ ступенчатая функция

[Nxx]

gris писал(а):

Тогда

$$S(f)=\int\limits_0^x f^{stup}(t)dt$$

где $f^{stup}$ это очевидным способом полученная из $f$ ступенчатая функция

Этот оператор даже не будет давать аналитические функции.

[gris]

А что значит аналитические функции? Надеюсь, это не в смысле ТФКП?
Оператор "ступенизации" линейный на пространстве любых функций. Его результат интегрируемая функция. Интегрирование тоже линейный оператор.
Хотя, конечно, это не то, что Вы имели в виду

[Nxx]

gris писал(а):

Его результат интегрируемая функция.

Но не аналитическая.

Цитата:

Интегрирование тоже линейный оператор.
Хотя, конечно, это не то, что Вы имели в виду

Примеры воздействия оператора S на функцию приведены выше. Собственно, в программе Mathematica это как-то запрограммировано. Посмотреть бы...

[Cave]

Это оператор, обратный к $\Delta[f] = f(x + 1) - f(x)$ - дискретной производной функции (соответственно, обратный можно назвать дискретной первообразной).
Многочлены в этом смысле интегрируются все, показательная функция тоже. Можно выписать формулы, аналогичные интегрированию по частям, получающиеся из свойств дискретного интегрирования, и научиться суммировать разные $x\sin x$ и им подобные. Некоторые функции удаётся проинтегрировать, расписав их разложение в аналог ряда Тейлора (где степень заменяется на факториальную, а производная на дискретную).
Дальше смотрите сами, я не знаю, для чего оно вам нужно.

[Nxx]

Вот-вот, уже интересно.

1. Что такое факториальная степень?

2. Можно ли найти общую формулу скажем, для вычисления этого оператора от многочленов? Как меняются коэффициенты?

3. Как решать диффуры, где используется такой оператор? Можно ли решать диффуры с произвольным линейным оператором, для которого известна матрица?

Добавлено спустя 13 минут 11 секунд:

Кстати, обратный оператор вроде бы, f(x)-f(x-1).

[Cave]

1. $x^{(n)} = x(x - 1)\ldots(x - n + 1)$, обозначение необщепринятое.
2. Можно. Для этого нужно перейти от базиса $1, x, x^2, \ldots$ к базису $1, x^{(1)} = x, x^{(2)}, \ldots$, проинтегрировать в нём, а затем, если необходимо, перейти обратно к стандартному базису путём раскрытия скобок.
Это удобно, потому что $\Delta x^{(n)} = n x^{(n - 1)}$, то есть на факториальные степени дискретная производная действует так же, как обычная производная на обычные степени. Отсюда легко получить формулу для интегрирования $x^{(n)}$.
Переход к базису можно осуществить с помощью аналога формулы Тейлора: $P_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac {\Delta ^ k P_n(0)} {k!} x^{(k)}$, таблица производных в нуле вычисляется за $O(n^2)$.
3. Диффур в обычном понимании? Ведь функция по $x$ ступенчатая получается, это подозрительно.
Пример можно?

Насчёт правильного обратного - возможно, просто мне привычнее работать с таким. Можно произвести композицию его с оператором сдвига аргумента на 1.

[Nxx]

А можно его выразить как-то через контурный интеграл?

Кстати, есть у этого оператора общепринятое обозначение?

Добавлено спустя 3 минуты 18 секунд:

Цитата:

Диффур в обычном понимании? Ведь функция по $x$ ступенчатая получается, это подозрительно.

Почему ступенчатая? Оператор же переводит аналитические функции в аналитические.

Добавлено спустя 3 минуты 50 секунд:

Если

$$S_\Delta[f]=\sum _{z=0}^{x-1} f(z)$$

(обратный к $\Delta$)

То уравнение такое:

$$a\ln f'+S_\Delta[f]+b=0 $$

Добавлено спустя 14 минут 40 секунд:

Я прав, если

$$\Delta[f(x)]=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz=-\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{+i\infty} \frac{f(z+x)}{z(z-1)}\, dz$$

?

Тогда, то, что нам надо - это оператор, обратный этому.

[gris]

А если применить оператор к функции
$\cos(2\pi x)$ или $x\cos(2\pi x)$?
При целых $x$ они совпадают с 1 и $x$...

[Nxx]

gris писал(а):

А если применить оператор к функции
$\cos(2\pi x)$ или $x\cos(2\pi x)$?
При целых $x$ они совпадают с 1 и $x$...

$$S_\nabla [\cos ax]=-\frac{1}{2} \cos (a x)+\frac{1}{2} \text{ctg} \left(\frac{a}{2}\right) \sin (a x)+\frac{1}{2}$$

Как видишь, будет неопределенность.