Помогите в решении уравнения Cтокса

[oleg_galtsev]

Дана система уравнений, описывающее движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе.
$\frac{\partial \overrightarrow u} {\partial t} - {\Delta{\overrightarrow u}}+ {\nabla p}= {\overrightarrow e}$, где ${\overrightarrow e}$ -единичный постоянный вектор силы тяжести, направленный по движению жидкости, $p$ - давление жидкости.${\overrightarrow u} =(u_1,u_2)$ - вектор скорости; $div{\overrightarrow u}=0$; ($\frac {\partial u_1} {\partial x_1} + \frac {\partial u_2} {\partial x_2}=0$). при условиях, ${\overrightarrow u}|_{t=0}=0$ и ${\overrightarrow u}|_{d\Omega}=0$ -условие прилипения. Рассматривается двумерное сечение трубы в декартовой системе координат с осями $x_1,x_2$
Цель:Необходимо найти интеграл вектора скорости во всей области сечения трубы$\int_{\Omega} {\overrightarrow u} dx - ?$
Найти значения вектора скорости на границах окружности.

GAA:

После возвращения из «Карантина» и на момент, когда Александр Т. привел решение, сообщение с постановкой задачи (данное сообщение) не содержало начального условия.

oleg_galtsev, пожалуйста, не редактируйте сообщения с постановкой задачи после ответов по сути. Добавляйте новое сообщение с измененным условием.

(Отмечу: и после добавления начального условия, решение Александр Т. остается верным (удовлетворяющим не только краевым условиям и уравнениям, но и начальному условию)).
[Отредактировано 13.04.09]

[Йа Гринько]

oleg_galtsev писал(а):

: ∫_ω^ ▒〖udx=?〗

это что?

http://dxdy.ru/topic183.html

[GAA]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться. Там же описано, как исправлять ситуацию. (Формулы, демонстрация попыток самостоятельного решения)

Добавлено спустя 2 часа 43 минуты 15 секунд:

Подсказка: частную производную скорости по времени можно записать так $\frac{\partial u} {\partial t}$ [наведите на формулу указатель мыши, чтобы увидеть код]. Также: $\Delta u$, $\nabla p$.

И еще. Уточните, пожалуйста, условие. Например, возможно, в задаче говорится не о границе окружности, а о границе круга.

[Prorab]

Prorab:

Тема возвращена

[GAA]

Я Вас, oleg_galtsev, сначала неправильно понял. Уравнение Навье—Стокса для несжимаемой жидкости имеет вид
$\frac{\partial u} {\partial t} +(u \nabla ) u - \Delta u + \frac{\overline {\nabla} p} {\rho} = e$.
или
$\frac{d u} {d t} - \eta \Delta u + \frac{\overline {\nabla} p} {\rho} = e$,
у Вас $\eta=1$, $\rho=1$. См., например, [1, гл.2, §15].
[Частный случай уравнения НС для несжимаемой жидкости, как раз, называется уравнением Стокса]

ref.
[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, том VI (Гидродинамика). — М.: Наука, 1983.

Добавлено спустя 5 минут:

Скорее всего, Вы не дописали, что на границе круга (окружности) скорость, $u$, обращается в ноль.

[Александр Т.]

GAA писал(а):

oleg_galtsev писал(а):

$\frac{{\overrightarrow {\partial u}}} {\partial t} - {\Delta{\overrightarrow u}}+ {\nabla p}= {\overrightarrow e}$, где ${\overrightarrow e}$ -единичный постоянный, $p$ - давление жидкости.

Приведенное Вами уравнение похоже на уравнение Эйлера
$\frac{\partial u} {\partial t} +(u \nabla ) u+ \frac{\overline {\nabla} p} {\rho} = e$,
где $ e$ — вектор характеризующий «внешнюю силу», например, если тело находится в поле тяжести, то $e = g$, $\rho$ — плотность. См., например, [1, гл.1, §2].

ref.
[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, том VI (Гидродинамика). — М.: Наука, 1983.

Добавлено спустя 50 минут 56 секунд:

Я Вас, oleg_galtsev, сначала неправильно понял. Уравнение Навье—Стокса для несжимаемой жидкости имеет вид
$\frac{\partial u} {\partial t} +(u \nabla ) u - \Delta u + \frac{\overline {\nabla} p} {\rho} = e$.
или
$\frac{d u} {d t} - \eta \Delta u + \frac{\overline {\nabla} p} {\rho} = e$,
у Вас $\eta=1$, $\rho=1$. См., например, [1, гл.2, §15].
[Частный случай уравнения НС для несжимаемой жидкости, как раз, называется уравнением Стокса]

Насколько я разбираюсь в терминологии (о которой, как известно, не спорят, а договариваются), это все-таки уравнение Стокса для несжимаемой жидкости, т.е. уравнение Навье-Стокса в приближении Стокса (оно же - приближение ползучих течений, оно же - приближение малых чисел Рейнольдса) только обезразмеренное (точнее, как Вы уже отметили, для которого вязкость, плотность и ускорение силы тяжести приняты за единицу). См., например, [1, гл.II, §20] для стационарного случая (т.е. для установившихся течений) и [1, гл.II, §24 и задачи к нему] для нестационарного случая. По крайней мере Winkipedia (см. вариант 2) с такой терминологией согласна.

Цитата:

Скорее всего, Вы не дописали, что на границе круга (окружности) скорость, $u$, обращается в ноль.

Автору темы нужно сильно постараться, чтобы сделать свой вопрос "отвечабельным".

[oleg_galtsev]

Мне показалось, что пояснения по поводу скорости, которая обращается в 0 на границе излишние, так как Стокс изначально рассматривал задачу движения жидкости в трубе. Извините. Моя ошибка. Да, скорость на границе =0

[GAA]

Александр Т., спасибо. Посмотрел книги, в частности [2]. Нашел тезис [3]. Не могу с Вами не согласиться.

oleg_galtsev, стационарная задача описана в [1, гл. 2, §17 (Течение в трубе)]. Обзор и ссылки по численным методам, а также конечно-разностные схемы расщепления для плоского и цилиндрического случая можно найти в [4]. Также можно посмотреть [5]. Это очень бородатые ссылки, но я больше двадцати лет этим не интересуюсь (как сдал «Численные методы»).

ref.
2 Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. — М., 1955.

Цитата:

Впервые уравнения движения вязкой жидкости с отброшенными квадратичными членами инерции были широко использованы Стоксом. На этом основании эти уравнения и получили название приближенных уравнений Стокса [Курсив автора книги, — Прим. GAA]

3. Суворов А. А. Электрокапиллярный разгон капли с поверхностным зарядом двойного слоя в электрическом поле // Мат. докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Сек. "Математика и механика"
[Уравнения Навье—Стокса без квадратичных членов автор называет приближенными уравнениями Стокса]

4. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Наука, 1984.
5. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980.

[oleg_galtsev]

Спасибо огромное за литературу. Но здесь и везде, где я видел уравнение Стокса, рассматриваются случаи, где используется базисная функция для сферы. Но ведь для круга совсем другая баз.функция должна быть...
Как ее выбрать? Одна небольшая загвоздка.

[Александр Т.]

oleg_galtsev писал(а):

Дано уравнение стокса.
Помогите пожалйста если не в решении, то хотябы в понимании сего уравнения. $\frac{\partial \overrightarrow u} {\partial t} - {\Delta{\overrightarrow u}}+ {\nabla p}= {\overrightarrow e}$, где ${\overrightarrow e}$ -единичный постоянный, $p$ - давление жидкости.${\overrightarrow u} =(u_1,u_2)$ - вектор скорости; $div{\overrightarrow u}=0$; ($\frac {\partial u_1} {\partial x_1} + \frac {\partial u_2} {\partial x_2}=0$).

oleg_galtsev писал(а):

Мне показалось, что пояснения по поводу скорости, которая обращается в 0 на границе излишние, так как Стокс изначально рассматривал задачу движения жидкости в трубе. Извините. Моя ошибка. Да, скорость на границе =0

При таких граничных условиях решение выписанной Вами системы уравнений имеет вид

$$\vec{u}=0,\quad p=\vec{e}\cdot\vec{x}+p_0,$$

где $\vec{x}=(x_1,x_2)$, $p_0$ --- произвольная константа (имеющая смысл давления в центре круга), а $\cdot$ обозначает скалярное произведение.

Подозреваю, что не такое решение Вам нужно. Тогда, возможно, Вы просто не поняли условия задачи.

Цитата:

при условиях, $\Omega : x_1^2+ x_2^2<r^2<1$ .

Где здесь условия? Это неравенство, которому удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри круга радиуса $r$.

Цитата:

Цель:$\int_{\Omega} {\overrightarrow u} dx - ?$
Найти значения вектора скорости на границах окружности.

Так в чем же цель состоит --- найти вышевыписанный интеграл или "значения вектора скорости на границах окружности"? Про то, что у окружности нет границ Вам уже намекнули. Если имеется в виду на границе круга, то там, как заявлено в вышеприведенной цитате, скорость равна нулю.

Цитата:

Я решал методом $\frac{{\overrightarrow u}^{(n+1)}+{\overrightarrow u}^n} {h} = {\Delta{\overrightarrow u}^{(n+1)}}- {\nabla p^{(n+1)}+{\overrightarrow e}}$,

Этот метод (судя по формуле, численного решения) имеет какое-нибудь название? Или его название иначе как формулой не выражается?

Цитата:

но не могу нигде выбрать для окружности базисную фуекцию.

Что Вы называете базисной функцией?

Старайтесь все-таки разборчиво формулировать вопросы, если хотите получать на них ответы. Как написано в подписи у одного из участников форума, правильная формулировка вопроса --- это половина ответа (скорее всего, не дословно так, но смысл такой).

[oleg_galtsev]

Я никак не пойму. Наверное все таки я неправильно изъясняюсь.
Ну да ладно. Мне нужно найти интеграл вектора скорости в круге(описанного неравенством).

Базисной функцией я называю функцию, которая обладает свойством, что все остальные функции могут быть разложены на их сумму или интеграл.
А на счет метода, то я привел метод Рунге-Кутта.
Это самый удобный метод решения этой системы. Но решить можно любым методом(конечных элементов, конечных разностей, ...)
(Я вообще плохо объясняю другим людям чего хочу)

[Александр Т.]

oleg_galtsev писал(а):

Я никак не пойму. Наверное все таки я неправильно изъясняюсь.
Ну да ладно. Мне нужно найти интеграл вектора скорости в круге(описанного неравенством).

Я Вам привел решение, точнее, семейство решений

$$\vec{u}=0,\quad p=\vec{e}\cdot\vec{x}+p_0.$$

Это точное аналитическое решение. Если его подставить в любое уравнение или граничное условие, получится тождество. Вас это решение устраивает?

Если --- да, то искомый интеграл равен нулю.

Если --- нет, то объясните --- почему, и уточните формулировку задачи (так, чтобы было видно, что приведенное мной решение не годится).

[oleg_galtsev]

Кажется понял в чем проблемма.
Четкого условия этой задачи у меня нет. Эту задачу профессор по матмоделированию нашел в одном журнале и поручил разобраться во всем мне.

Добавлено спустя 6 минут 30 секунд:

В указанных источниках GAA рассматривается случай для жидкости в трубе. В доставшемся мне условии был рисунок: система координат$x_1, x_2$. В первой ее четверти нарисован круг с заштрихованной внутренней областью и,собственно, все ,что я описывал выше.

[Утундрий]

Будет гораздо проще, если Вы дадите ссылку на "один журнал" с этой статьей...

[oleg_galtsev]

Цитата:

Дана система уравнений, описывающее движение вязкой несжимаемой жидкости в трубе.
$\frac{\partial \overrightarrow u} {\partial t} - {\Delta{\overrightarrow u}}+ {\nabla p}= {\overrightarrow e}$, где ${\overrightarrow e}$ -единичный постоянный вектор силы тяжести, направленный по движению жидкости, $p$ - давление жидкости.${\overrightarrow u} =(u_1,u_2)$ - вектор скорости; $div{\overrightarrow u}=0$; ($\frac {\partial u_1} {\partial x_1} + \frac {\partial u_2} {\partial x_2}=0$). при условиях, ${\overrightarrow u}|_{t=0}=0$ и ${\overrightarrow u}|_{d\Omega}=0$ -условие прилипения. Рассматривается двумерное сечение трубы в декартовой системе координат с осями $x_1,x_2$
Цель:Необходимо найти интеграл вектора скорости во всей области сечения трубы$\int_{\Omega} {\overrightarrow u} dx - ?$

Возник теперь вопрос о направлении вектор ${\overrightarrow e}$.Равен ли этот вектор нулю при его ортогональности вектору скорости???
И каково будет решение уравнения, если вектор ${\overrightarrow e}$ направлен вдоль вектора скорости жидкости в трубе???