Не буду спорить. Тем более, что мне совершенно безразлично чему равносильно моё определение. Вы ведь не утверждаете, что оно бессмысленно?
Оно не бессмысленно. Оно равносильно определению Дедекинда, которое, видимо, было первым определением бесконечного множества. В то время никакой аксиоматики теории множеств не было, никто за употреблением аксиомы выбора не следил (да и сейчас подавляющее большинство математиков, столкнувшись с построением, требующим аксиомы выбора, даже не заметит её употребления), поэтому определение казалось вполне адекватным. Только много позже выяснилось, что, согласно этому определению, конечным может оказаться множество, в котором можно найти произвольно много элементов. Поэтому по современным понятиям это определение неприемлемо, а правильным является то, которое я сформулировал под номером 1. Именно его можно найти, например, в книгах
К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970. (Глава III, § 4.)
Справочная книга по математической логике. Часть II. Теория множеств. "Наука", Москва, 1982. (Томас Дж.Йех. Об аксиоме выбора. §§ 6, 8. Здесь явно сформулированного определения нет, но есть "
дедекиндово множество действительных чисел, т.е. бесконечное множество, не содержащее счётных подмножеств".)
Распространённость Вашего определения среди тех, кто не занимается профессионально теорией множеств, связана с тем, что обычно "по умолчанию" принимают аксиому выбора, а она делает оба определения равносильными.
Вот здесь пример:
Там есть часть формулировки, которая читается так: "Последователь любого
, принадлежащего
, принадлежит
". Это и есть "прямое" заявление о том, что все последователи минимального элемента включены во множество.
Не могли набрать формулу? Зачем нужно было ссылаться на внешний файл?
Ну и что? Возьмём утверждение, которое конструктивизмом безусловно принимается: "ноль является натуральным числом, и каждый последователь натурального числа является натуральным числом". Используя множество
, определённое Кушнером, это утверждение можно записать так:
.
В чём разница?
Во втором предложении, естественно, речь шла о натуральных числах. Т.е.: Это не значит, что я утверждаю, что существует множество, включающее все натуральные числа.
Зато Кушнер это утверждает. Кушнер прямо определяет
как "множество натуральных чисел", а не как "конечное множество, содержащее какие-нибудь натуральные числа". Не забывайте, что он истолковывает множества как свойства, и Ваше утверждение, что
содержит не все натуральные числа, означает, что свойство "быть натуральным числом" в действительности таковым не является.
Б.А.Кушнер. Лекции по конструктивному математическому анализу. "Наука", Москва, 1973.
Вообще, у меня такое впечатление, что Вы Кушнера не читали, а, в лучшем случае, бегло листали.
Давайте откроем главу 1, § 3, и прочтём там:
стр. 107 писал(а):
Множество
назовём
бесконечным, если осуществим арифметически полный алгорифм, перечисляющий без повторений некоторое подмножество
.
...
Множество
назовём
финитным, если можно указать такой список
его элементов, что всякий элемент
совпадает с одним из членов этого списка.
Множество
назовём
нефинитным, если неверно, что оно финитно. Обратное утверждение, неверное, вообще говоря, для произвольных множеств (таковы иммунные множества; см., например, Мальцев [1]), для перечислимых множеств легко следует из теоремы 2 (и принципа Маркова).
Вы хотели явного указания на бесконечные множества в конструктивном анализе? Ваше желание исполнилось. Как я понимаю, А.И.Мальцев - один из столпов конструктивного анализа. Вы явно хотите быть святее самого Папы римского, о чём я Вам уже писал.
Это всё не имеет отношения к вопросу, ибо является интерпретациями. Я точно так же могу интерпретировать все эти слова и выражения таким образом, что речь идёт о конечных множествах, которые "дополняются" по мере необходимости.
Никто не запрещает Вам интерпретировать точно также и ZFC (или GB).
Поэтому у меня нет конструктивного доказательства того, что таких чисел конечное количество. Но согласно определению их количество не может быть бесконечным. Вы придумали очередной замечательный пример неснимаемого двойного отрицания.
М-м-м... Может быть. Ладно, этот вопрос закроем, поскольку он здесь offtopic (как, впрочем, и практически вся Ваша дискуссия с
Nxx).