Как найти мощность множеств?

[er]

Руст писал(а):

Думаю, что любая такая функция есть отношение двух полиномов с целыми коэффициентами.

кусочно линейные функции не такие.

гипотеза, что существует интервал, на котором функция есть отношение двух полиномов с целыми коэффициентами.

[Someone]

er писал(а):

Руст писал(а):

Думаю, что любая такая функция есть отношение двух полиномов с целыми коэффициентами.

кусочно линейные функции не такие.

гипотеза, что существует интервал, на котором функция есть отношение двух полиномов с целыми коэффициентами.

Да ладно Вам, рациональных функций с целыми коэффициентами - счётное множество. Перенумеруйте все такие функции, не являющиеся константами, а также какую-нибудь счётную базу числовой прямой, и стройте себе подобие множества рациональных чисел на себя (отображение, сохраняющее порядок), так, чтобы оно на $n$-ном элементе базы гарантированно отличалось от первых $n$ функций. Подобие множества рациональных чисел продолжается до подобия множества действительных чисел. Усложнив конструкцию, вероятно (почти наверняка), можно добиться и недифференцируемости во всех рациональных точках, но деталей не продумывал, так что подумайте сами.

[Руст]

Как я понял, речь идёт о непрерывных функциях, принимающих рациональные значения в рациональных точках?

[Руст]

Так как R можно разделить на счётное множество интервалов, то непрерывные функций, являющиеся кусочно рациональными образуют мощность континиум.

[Someone]

Руст писал(а):

Как я понял, речь идёт о непрерывных функциях, принимающих рациональные значения в рациональных точках?

О них самых.

Сейчас посмотрел, кажется, там ещё бесконечная дифференцируемость требуется или разложимость в степенной ряд? Виноват, сразу невнимательно посмотрел. Тогда не знаю.

[Someone]

Руст писал(а):

Так как R можно разделить на счётное множество интервалов, то непрерывные функций, являющиеся кусочно рациональными образуют мощность континиум.

Я-то как раз предлагал строить функции, которые ни на каком интервале не совпадают с рациональными. Но пропустил условие дифференцируемости (точнее, понял его "наоборот").

[er]

Someone писал(а):

er писал(а):

Руст писал(а):

Думаю, что любая такая функция есть отношение двух полиномов с целыми коэффициентами.

кусочно линейные функции не такие.

гипотеза, что существует интервал, на котором функция есть отношение двух полиномов с целыми коэффициентами.

Да ладно Вам, рациональных функций с целыми коэффициентами - счётное множество. Перенумеруйте все такие функции, не являющиеся константами, а также какую-нибудь счётную базу числовой прямой, и стройте себе подобие множества рациональных чисел на себя (отображение, сохраняющее порядок), так, чтобы оно на $n$-ном элементе базы гарантированно отличалось от первых $n$ функций. Подобие множества рациональных чисел продолжается до подобия множества действительных чисел. Усложнив конструкцию, вероятно (почти наверняка), можно добиться и недифференцируемости во всех рациональных точках, но деталей не продумывал, так что подумайте сами.

Не додумался до такой конструкции, так что

er писал(а):

гипотеза, что существует интервал, на котором функция есть отношение двух полиномов с целыми коэффициентами.

(почти наверняка ) не верна

[er]

Someone писал(а):

Руст писал(а):

Так как R можно разделить на счётное множество интервалов, то непрерывные функций, являющиеся кусочно рациональными образуют мощность континиум.

Я-то как раз предлагал строить функции, которые ни на каком интервале не совпадают с рациональными. Но пропустил условие дифференцируемости (точнее, понял его "наоборот").

Насчет этого

er писал(а):

Ограничемся целыми функциями (чтоб с дробно рациональными не возится).

Кроме многочленов (с рациональными коэфицентами) есть ли еще какие-нибуть целые функции, которые в рациональных точках принимают рациональныые значения?

непонятно.

[Руст]

Можно искать функцию r(x) в виде интеграла от 0 от функции $\sum_i a_i \delta(x-x_i).$
При этом взяв $x_i,a_i$ рациональными (носители и веса) и ряд $\sum_i |a_i|$ сходящимся так, чтобы и суммы

$$\sum_{i,x_i<r} a_i$$

были рациональными при любом рациональном r, получим функцию, отличную от рациональной в любой интервале, если носители всюду плотны. При этом вычисляя интегралы по частям убеждаемся, что k кратные интегралы от нуля (гладкие функции) так же обладают этим свойством. Для того, чтобы убедиться в возможности такого выбора достаточно, рассмотреть носители вида $x_i=\frac{p_k}{2^k},p_k - \ odd$ и несложно выбрать рациональные веса. Таким образом, для к кратно дифференцируемых функций гипотеза о кусочно рациональности таких функций неверна. Для аналитических функций думаю что верна.

[er]

Руст писал(а):

... и несложно выбрать рациональные веса...

А как их выбрать?

Я бы скорее поверил, что это невозможно..

[Руст]

Достаточно выбрать для носителя $x_i=\frac{p_k}{2^k}$ вес $a_i=\frac{1}{2^k}$. Так как любая рациональная точка имеет периодическую 2-адическую запись, то сумма этих весов от нуля будет рациональной.

[Руст]

Веса $a_i=\frac{1}{2^{2k}}$.

[er]

Руст писал(а):

суммы

$$\sum_{i,x_i<r} a_i$$

были рациональными при любом рациональном r,

Руст писал(а):

Достаточно выбрать для носителя $x_i=\frac{p_k}{2^k}$ вес $a_i=\frac{1}{2^k}$. Так как любая рациональная точка имеет периодическую 2-адическую запись, то сумма этих весов от нуля будет рациональной.

Руст писал(а):

Веса $a_i=\frac{1}{2^{2k}}$.

Получаем,

$$\sum_{i, x_i<r} a_i= \sum_{i,\frac{p_k}{2^k}<r}\frac{1}{2^{2k}}$$

рационально при рациональном $r$.

а почему так? у меня впечетление, что рациональным редко бывает.
по крайне мере, можно выбрать последовательность $p_k$, так что

$$ \sum_{i,\frac{p_k}{2^k}<0}\frac{1}{2^{2k}}$$

будет не рациональным числом

[Руст]

Я предложил взять интеграл от нуля. Соответственно для чётной функции (носители и веса симметричны относительно нуля) функция получится нечётной и достаточно вычислить для положительного рационального числа r сумму:
(1) $$f(r)=[r]f(1)+\sum_{ 0<p_k>0} b_if(\frac{1}{2^{-i}})$ нам достаточно определить рациональные числа $c_i=f(\frac{1}{2^i})$, так чтобы для любой периодической последовательности цифр $b_i$ число $\sum_i b_ic_i$ так же было рациональным. Здесь приняли предположение, что веса в точках r=p/2^k определяются только номером k.
Пусть до периода имеется а членов и период равен T. Тогда f(r) вычисляется по формуле:
(2)

$$f(r)=[r]f(1)+\sum_{i\le a}b_ic_i +\sum_{i=1}^T b_{a+i} \sum_{k=0}^{\infty } c_{a+i+kT}.$$

Т.е. для удовлетворения функции нашим условиям, достаточно выбрать последовательность рациональных чисел $c_i$ так, чтобы при любом d,T сумма:
(3)

$$\sum_{k=0}^{\infty } c_{d+Tk} $$

было рациональным числом. Все случаи, когда функция является рациональной даются последовательностями, когда $c_k=2^{-nk}l_k$ с периодической последовательностью рациональных чисел $l_k$. Поэтому достаточно взять отличную от этог последовательность удовлетворяющую (3).
Например, если удастся показать, что для некоторой не быстрорастущей рациональной последовательности s(k) при любых d,T сумма:

$$\sum_k \frac{s(d+kT)}{2^{(d+kT)^2}}$$

всегда рационально, то можно построить бесконечно гладкую неаналитическую функцию принимающую рациональные значения в рациональных точках у которого все производные в точках вида p/2^k равны 0.

[Руст]

Так как функции имеют скачки в точках $\frac{p_i}{2^k}$, то речь идёт о производных слева и справа.