Я предложил взять интеграл от нуля. Соответственно для чётной функции (носители и веса симметричны относительно нуля) функция получится нечётной и достаточно вычислить для положительного рационального числа r сумму:
(1)
![$$f(r)=[r]f(1)+\sum_{ 0<p_k>0} b_if(\frac{1}{2^{-i}})$ $$f(r)=[r]f(1)+\sum_{ 0<p_k>0} b_if(\frac{1}{2^{-i}})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/7/2c7492785b156b89030c5354534624b482.png)
нам достаточно определить рациональные числа

, так чтобы для любой периодической последовательности цифр

число

так же было рациональным. Здесь приняли предположение, что веса в точках r=p/2^k определяются только номером k.
Пусть до периода имеется а членов и период равен T. Тогда f(r) вычисляется по формуле:
(2)
Т.е. для удовлетворения функции нашим условиям, достаточно выбрать последовательность рациональных чисел

так, чтобы при любом d,T сумма:
(3)

было рациональным числом. Все случаи, когда функция является рациональной даются последовательностями, когда

с периодической последовательностью рациональных чисел

. Поэтому достаточно взять отличную от этог последовательность удовлетворяющую (3).
Например, если удастся показать, что для некоторой не быстрорастущей рациональной последовательности s(k) при любых d,T сумма:
всегда рационально, то можно построить бесконечно гладкую неаналитическую функцию принимающую рациональные значения в рациональных точках у которого все производные в точках вида p/2^k равны 0.