cas x - почему такое название?

[ewert]

, а другим дисциплинам это даст ещё меньше. Скажем, у синусов самих по себе и косинусов аналогично -- вполне определённые и практически значимые краевые условия. А что у той замечательной функции?... -- тьфу.

[Nxx]

$$\operatorname{cas}\,x$$

- это аналог экспоненты

$$\exp x$$

. Мы же не учим все формулы для гиперболической тригонометрии, нам достаточно знать свойства возведения в степень.

[ewert]

Nxx писал(а):

$$\operatorname{cas}\,x$$

- это аналог экспоненты

$$\exp x$$

.

Ни хрена себе. Так значит, $\operatorname{cas}\,(x+y)=\operatorname{cas}\,x\cdot\operatorname{cas}\,y$, да?...

А ведь это -- основное и неотъемлемое свойство показательной функции.

[gris]

Это всё дело привычки.
Тут вот ещё какой момент. Спросите у 100 человек, какой угол они считают средним? 90 скажут - 45 градусов. Это очень естественно. Человек инстинктивно кидает камень под этим углом, это ни полого ни круто, угол легко строится. Ну можно привести массу примеров.
Поэтому $45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ можно считать за начало измерения углов. И транспортиры переделать соответственно.
И тогда все расчёты с cas будут не сложнее прежних, а формулы значительно упростятся.

Я бы написал ещё много доводов в пользу функции Хартли, но боюсь быть справедливо обвинённым в пустословии, а посему заканчиваю.

Вот если бы господа Виктор Ширшов и unnihilator взялись за дело, они бы быстро убедили скептиков.

[Nxx]

ewert писал(а):

Nxx писал(а):

$$\operatorname{cas}\,x$$

- это аналог экспоненты

$$\exp x$$

.

Ни хрена себе. Так значит, $\operatorname{cas}\,(x+y)=\operatorname{cas}\,x\cdot\operatorname{cas}\,y$, да?...

А ведь это -- основное и неотъемлемое свойство показательной функции.

Да. Можете сами проверить по этим формулам: http://www.schoolife.ru/education/algeb ... aniya.html

[ewert]

Nxx писал(а):

ewert писал(а):

$\operatorname{cas}\,(x+y)=\operatorname{cas}\,x\cdot\operatorname{cas}\,y$, да?...

Да.

$$x=y={\pi\over4}.$$

[Nxx]

Да, со знаком перепутал.

[AndreyXYZ]

gris в сообщении #194538 писал(а):

geomath, я плохо разбираюсь в Фурье-подобных преобразованиях и обращал внимание лишь на историческую сторону вопроса. Ральф Хартли был человеком эксцентричным и почему-то возился с функцией cas, как с писаной торбой. Разработка собственно преобразования Хартли диктовалась сугубо практическими проблемами, а не тем, что он, якобы, ненавидел комплексные числа. В некоторых конкретных случаях его преобразование требовало чуть ли не в половину меньше вычислений, чем преобразование Фурье при обработке сигналов. Но ему очень хотелось популяризовать cas чуть ли не в школьной математике. Поэтому он специально придумал запоминающееся трёхбуквенное название. А эти формулы сложения, кратного аргумента, дифференцирования и интегрирования.

Не могли бы Вы дать ссылку на материал, в котором Вы прочти о функции cas? И все же, это расшифровывается как "cos and sin"? Я так и не понял, нашли ли Вы достоверный ответ.

[gris]

Наконец-то автор темы соизволил заглянуть в обсуждение.
О какой достоверности может идти речь? Название функции не относится к строго определяемым понятиям. Для Вашего ответа может быть будет достаточно статьи в википедии?
http://en.wikipedia.org/wiki/Hartley_transform
Попробуйте найти статью Хартли 1942 года о преобразовании.

[AndreyXYZ]

gris в сообщении #195167 писал(а):

Для Вашего ответа может быть будет достаточно статьи в википедии?
http://en.wikipedia.org/wiki/Hartley_transform

Спасибо! Там это преобразование называется "cosine-and-sine".

[Утундрий]

gris писал(а):

Вся фишка в том, что cas должна была заменить собой все тригонометрические функции.

$\cos(x) = \frac12(\mathrm{cas}(x)+\mathrm{cas}(-x))$

$\sin(x) = \frac12(\mathrm{cas}(x)-\mathrm{cas}(-x))$

$\tg(x) = \frac{\mathrm{cas}(x)-\mathrm{cas}(-x)}{\mathrm{cas}(x)+\mathrm{cas}(-x)}$

$\int \mathrm{cas}(x)dx =-\mathrm{cas}(-x) +C$

Значительно упрощается вся тригонометрия. Школьникам надо заучивать в три раза меньше формул. Представьте, никаких синусов-косинусов-тангенсов.

Интересный довод. Но, если уж допускать изменения аргументов, то чем хуже родное и до боли знакомое $\[\cos x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\]$? Кстати, по моему глубокому убеждению, школьникам достаточно заучить всего одну формулу $\[e^{ix} = \cos x + i\sin x\]$, если это правильные школьники) Все остальное легко выводится.

[ewert]

На самом деле -- им заучивать придётся и впрямь много. Эйлером тут не отделаешься, уж больно далёк он от реальной тригонометрической жизни.

А вот чем реально плохи любые попытки свести всю тригонометрию к некоей универсальной функции. Тем, что стандартные тригонометрические функции обладают некоторыми вполне определёнными свойствами, причём практически значимыми. Ну хотя бы характерными граничными условиями.

Вот аналог. Зачем, казалось бы, нужны гиперболическия функция, когда есть просто экспонента?... -- ан нет, нужны.

[Утундрий]

Далек, говорите? Вот приспичило мне, предположим, узнать как сумму в произведение расписать, а из головы вылетело (точнее было умышленно выброшено, но это детали) где там полусумма, где полуразность... Ну так, беру Эйлера и размахнувшись им как следует, получаю, к примеру $\[\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{{2i}}\left( {e^{i\alpha } - e^{ - i\alpha } } \right)\frac{1}{2}\left( {e^{i\beta } + e^{ - i\beta } } \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta )} \right)\]$, или другими словами $\[\sin \alpha + \sin \beta = 2 \cdot \sin \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}\]$. Подобные вычисления с легкостью можно проводить в уме.

[gris]

Утундрий, школьники заучивают только формулы суммы/разности косинусов/синусов, пользуясь правилом - у косинуса функции одинаковые, а знаки разные. У синуса функции разные, а знаки одинаковые.
А сумму, произведение функций обычно получают из этих четырёх. И правильно делают, так как легко спутаться.
Ну ещё формулы двойного угла и решения простейших уравнений учат.

ewert уже второй раз упомянул о неких таинственных граничных условиях для синуса и косинуса. Это в уравнении $y''=-y$?
cas подчиняется тому же уравнению, и для неё(него) тоже есть неплохие граничные условия. Или я не понял чего-то?

А вообще синус и косинус - они как инь и янь. Положительное-отрицательное, целое-дробное, рациональное-иррациональное, действительное-мнимое, СИНУС-КОСИНУС. Симметричное-кососимметричное, гомологии-когомологии.

[ewert]

gris писал(а):

о неких таинственных граничных условиях для синуса и косинуса. Это в уравнении $y''=-y$?

Ничего таинственного. Есть стандартные условия Дирихле (когда сама функция обрашается в ноль), и не менее стандартные условия Неймана (когда обращается в ноль её производная). Каждое из этих условий в приложениях имеет вполне прозрачный и вполне естественный физический смысл (да и математический, кстати, если вдуматься -- тоже).

И ещё бывают условия третьего типа -- это когда $f+\pm\beta f'=0$. Да, вполне бывают. Но вот с какой стати бета в них будет именно единичкой -- это уж воистину уму непостижимо.