Парадокс неожиданной казни

[Sonic86]

Ага, понятно, значит все было так просто...

Я еще попробую как-то время в этой задаче рассмотреть.
Вопрос к Вас и к Туристу как к носителям общепринятого понимания: каково истинностное значение высказывания "Завтра пойдет дождь"? Я 2 варианта брал: оно либо истинно, либо ложно, но какое именно - мы не знаем; оно не истинно и не ложно. (тут понятно, что мы не ответим, что оно истинно, и не ответим, что оно ложно. А вот как мы ответим?)

[TypucT]

Prorab писал(а):

Пусть даже начальник тюрьмы говорит об одном завтрашнем дне.

Первое его утверждение - завтра состоится казнь (K). Оно истинно.

А с другой стороны, собственно утверждение начальника тюрьмы заключается в том, что при таких исходных посылках заключенный логическим путем выводит сразу оба вывода. И это утверждение также истинно.

Таким образом имеем два истинных утверждения, которые приводят к противоречию. absurd!

Добавлено спустя 7 минут 54 секунды:

Sonic86 писал(а):

каково истинностное значение высказывания "Завтра пойдет дождь"?

В классической логике истина или ложь, и третьего не дано.

[epros]

Sonic86 писал(а):

каково истинностное значение высказывания "Завтра пойдет дождь"?

Я не знаю что такое истинностное значение "вообще". Всё зависит от принятой теории. Например, в данный момент я принимаю теорию, согласно которой значения истиности для высказываний о завтрашней погоде определяются сводками Гидрометцентра. Так что согласно этой теории данное высказывание - ложно.

[Sonic86]

epros!
М-да, а я третье значение писал, ну да ладно.
Вы еще про парадокс не ответили.

[epros]

Sonic86 писал(а):

epros!
М-да, а я третье значение писал, ну да ладно.

Что Вы имеете в виду под "третьим значением"? "Или да, или нет"? Я как-то это не воспринимаю как третье значение. В моей логике может быть "третье значение", но это не совсем то. Вот, например, если Гидрометцентр вдруг не опубликует сводку на завтра, то логическим значением для меня будет "неразрешимо" (в существующей теории).

Sonic86 писал(а):

Вы еще про парадокс не ответили.

М-ммм, где?

[Sonic86]

epros!
Раньше писал, повторяю:
"
Насчет $A \wedge \neg A$.
Вы же сами написали, что у меня понимание парадокса отличается от общепринятого - написанного Вами: парадокс есть противоречивый вывод.
Когда я вижу это определение, то у меня в качестве самого тривиального примера в голову лезет такое: пусть $A$ - некоторое высказывание и дано, что $A \wedge \neg A$. Так как $X \vdash X$, то значит $A \wedge \neg A \vdash A \wedge \neg A$, тогда по MP получаем $A \wedge \neg A$. Это - противоречие, значит данный вывод является парадоксом по Вашему (общепринятому) определению. (я данный вывод, когда знаками писал, выше, мог написать криво - извините сразу). Вот я и проверяю.
Ну, или, что то же самое: Вы говорите: парадокс - это противоречивый вывод. А раз из непротиворечивых посылок нельзя вывести противоречие, то значит, в парадоксе посылки будут тоже противоречивы. Зачем тогда удивляться, что $A \wedge \neg A$? - так и должно быть. Правильно я Ваше определение понял?
"

[TypucT]

Как тут уже не раз говорилось, достаточно какого-нибудь необычного понимания слова "знаю", чтобы разрешить задачу. (Начальник-гипнотизер, либо преступник-идиот, и т.п.)

Смотрите:
Вас казнят на следующей неделе в полдень.
Весь день до казни вам будет весело, вам станет грустно только когда палач в полдень войдет к вам в камеру.

Никакого противоречия, просто утверждение о фактах мира задачи. За день до казни, каким бы он ни был, преступник обязательно будет веселиться (читай - не знать о казни).

[epros]

Sonic86 писал(а):

Вы говорите: парадокс - это противоречивый вывод. А раз из непротиворечивых посылок нельзя вывести противоречие, то значит, в парадоксе посылки будут тоже противоречивы.

Я не воспринял это как вопрос.

Естественно, если в теории выводится противоречие, то её аксиоматика ("посылки") противоречива. Но как Вы это можете сходу определить? Это можно определить только проделав вывод противоречивого утверждения. Возьмите в качестве примера теорию жены, ждущей подарка (формализация у Вас есть). Где здесь явное противоречие в посылках? У неё в аксиоматике нет даже утверждения о том, что муж говорит правду. Но вот она получает сообщение, которое с точки зрения её аксиоматики не может быть правдой, а оно в итоге оказывается правдой. В этом и заключается противоречие.

Или другой пример: аксиоматика т.н. "наивной" теории множеств Кантора, согласно которой можно собрать множество из всех элементов, обладающих любым признаком. Как Вы сходу определите, что она противоречива? Для этого нужно сначала придумать признак, из которого следует определение противоречивого множества (что и сделал Рассел).

[Sonic86]

epros!
Это вообще-то вопросом не было, но мне понятно: для Вас приведенная ваше конструкция это парадокс.

Турист!
В принципе Вы правы. Именно поэтому ради интереса мы таких предположений и не делаем. Видимо, если это действительно считать реальной историей, приходится полагать, тчто имел место еще какой-то фактор.

[TypucT]

Представим, что в парадоксе лжеца (его все считают парадоксом, не так ли?)

$$ P: \neg P $$

нам не ставится вопрос об истинности или ложности $P$, а сказано, что $P$ истинно. Тогда имеем истинное высказывание

$$ P\&\neg P $$

absurd!

Вот так можно записать высказывания начальника более точно, чем в условии, чтобы не было разночтений:

$$ A: D_1\vee … \vee D_7 $$

$$ B: ((A\&B\to D_1)\to\neg D_1) \& … \& ((A\&B\to D_7)\to\neg D_7) $$

(“Если из моих слов можно вывести, что день казни $x$, то день $x$ не является днем казни.”)

(Второе высказывание можно еще записать так:
“Если день казни $x$, то из моих слов этого узнать нельзя.”

$$ B': (D_1 \to \neg (A\&B'\to D_1)) \& … \& (D_7 \to \neg (A\&B'\to D_7)) $$

что, впрочем, эквивалентно $B$.)

Само условие тогда запишется как истинное высказывание

$$ (D_1\vee … \vee D_7) \&(((A\&B\to D_1)\to\neg D_1) \& … \& ((A\&B\to D_7)\to\neg D_7)) \& A \& B $$

из которого нетрудно вывести противоречие

$$ (D_1\vee … \vee D_7) \&\neg D_1 \& … \& \neg D_7 $$

---
Обратите внимание, что здесь учитываются только слова начальника и условие их истинности. Рассуждения заключенного и вопрос задачи к парадоксу отношения не имеют (так сказать избыточные условия).

[Nxx]

Кстати, каждое парадоксальное высказывание можно представить как сумму бесконечного расходящегося ряда. Этот ряд можно обобщенно суммировать. Так вот, если обобщенно суммировать ряд, соответствующий данной задаче, выходит, что вероятность, что его казнят в начале недели выше, чем в конце.

[lofar]

Сидел он в среду и думал: "Вот если сегодня палач не придет, и если завтра не придет, и если послезавтра не придет, и если после-послезавтра не придет, вот тогда я посмеюсь!" А он, сволочь, пришел!

[Андрей333]

Мне кажется, неожиданно его могут казнить в любой день, кроме последнего.

[Someone]

Андрей333 в сообщении #194664 писал(а):

Мне кажется, неожиданно его могут казнить в любой день, кроме последнего.

Поэтому, если к нему в последний день придёт палач, это будет совершенной неожиданностью.

[sekhvor]

Я думаю, что проблема заключается в том, что день казни будет сюрпризом, а не факт знаю ли я день казни или не знаю.
Логическими рассуждениями я пришел к выводу, что меня не казнят.
Приходит ко мне палач и говорит: "В пятницу (четверг ...) я тебя казню".
Вот это сюрприз!!!
Ведь фраза двойная - день будет сурпризом, ты узнаеш о нем ...
Знание в принципе не исключено. Оговаривается только неожиданность узнавания этого дня