Широко известно, что формула сложения параллельных скоростей выводится из ПЛ.
Однако, ещё в 1984г. физик Н.Д.Мермин опубликовал статью "Теория Относительности без постулата о постоянстве скорости света".
http://acmephysics.narod.ru/archive_r/mermin.zip /pdf, 300кБ/
В этой статье он вывел общую возможную формулу сложения скоростей независимо от ТО, в частности от ПЛ.
Я приведу здесь более простой, элементарный вывод, сохранив обозначения и его "Мысленный опыт".
*****
Будем искать общий, возможный вид формулы сложения параллельных скоростей.
1.Общие свойства функции скорости:

–скорость тела движущегося со скоростью

в системе отсчёта, которая сама движется со скоростью

,
Если поменять направление скоростей на противоположное, то и результирующая скорость изменит знак.
Пусть

- скорость системы отсчёта

в системе отсчёта

. Тогда

– это скорость системы отсчёта

в системе отсчёта

. Очевидно что:
Для трёх систем отсчёта:

и

имеем:
Следовательно
Следствие 1.
Следствие 2.
При

следует:
2. «Состязание в беге».
Заяц со скоростью

и Черепаха со скоростью

стартуют из конца вагона. Вагон движется со скоростью

. Заяц добирается до начала вагона, бежит назад и встречается с Черепахой. Обратный путь Зайца составляет

-часть от длины вагона. Нетрудно показать, что

– инвариант, т.е. не зависит от системы отсчёта.
Пусть

– скорость Черепахи;

– скорость прямого пути Зайца;

– скорость обратного пути Зайца;

– длина движущего вагона.

– время прямого пути Зайца от конца вагона до его начала;

– время его обратного пути до встречи с черепахой.
Путь, пройденный Черепахой, равен пути, пройденным Зайцем до конца вагона минус обратный путь до встречи с Черепахой
Для Зайца
3.Вывод формулы скорости.
Так как скорость Черепахи не зависит от скорости Зайца, примем /для упрощения выкладок/ - скорость Зайца равна скорости вагона

,
тогда:

– не зависит от
Имеем:
Подставляя

в

и упростив, получим:
Где

– не зависит от
Но / Следствие
1/
Следовательно:

– некая константа, с размерностью равной обратной квадрату скорости.
Окончательно
При

мы получим Галилеевское сложение скоростей.
При

мы получим Лоренцевское сложение скоростей.
*****
Важно, что при соблюдении ПО другого вида формулы сложения параллельных скоростей быть
не может.
Далее, используя полученный результат, можно вывести и ощий возможный вид формул преобразования координат. Этот общий вид будет включать как преобразования Галилея, так и преобразования Лоренца.
Довольно неожиданный результат.
Хочу отметить ещй важное замечание Мермина
Цитата:
Теория относительности отнюдь не является ветвью электромагнетизма, и этот предмет может быть сформулирован без каких либо ссылок на свет
Я бы сказал
обязан. Просто

мировая константа нашего Мира и является предельной скоростью распространения взаимодействий.