Примечательные интегралы

[Nxx]

Народ, подскажите пожалуйста, какие-нибудь примечательные неопределенные интегралы, от которых дух захватывает.

[gris]

Это daogiauvang мастер по таким интегралам. Посмотрите у него в последних темах.

[Nxx]

А какой самый сложный интеграл, который когда-либо был взят?

[Brukvalub]

А какова мера сложности? Как сравнивать интегралы по сложности взятия?

[Nxx]

Ну, например, какой-нибудь нетривиальный способ, который не подпадает под стандартную классификацию, использование определения интеграла через пределы и т.д.

[ИСН]

Нетривиальных способов нет: всё берётся либо тривиально, либо никак.
(Другое дело с определёнными интегралами, но - - -)
Скажу иначе. Какой самый сложный арифметический пример, который когда-либо был решён? А самая сложная производная? Интересно? Нет? Вот и это...

[Nxx]

Ну с производными все понятно (хотя, например, производные элементарных функций берутся на основании определения производной через пределы). А вот был ли какой-то интеграл, который долгое время считался неразрешимым, а потом его нашли? Или тот, за который была назначена премия?

[Gafield]

Самым примечательным было то, что некоторый интегралы не вычислялись, не вычислялись, а потом вдруг выяснилось, что они не выражаются через элементарные функции

[gris]

С интегралами было не так романтично.

Когда возникла потребность много и часто интегрировать, то поступили следующим образом. Были выделены деньги (грант, по нынешнему), и два десятка чуть ли не обыкновенных студентов принялись дифференцировать самые разные функции.

Дифференцирование не требует изобретательности, а только терпения и внимательности. Главное, чтобы функции брались самые разнообразные. Результаты дифференцирования свели в таблицы. Полученные производные стали подынтегральными выражениями, а исходные функции - результатами интегрирования.

Кстати, многие приёмы интегрирования становятся понятными и лучше запоминаются, если внимательно понаблюдать за процессом обратного дифференцирования.

[AD]

gris в сообщении #192241 писал(а):

Когда возникла потребность много и часто интегрировать, то поступили следующим образом. Были выделены деньги (грант, по нынешнему), и два десятка чуть ли не обыкновенных студентов принялись дифференцировать самые разные функции.

:idea: Кстати, а это ведь автоматизировать можно! Сажаем в background программу, которая все время дифференцирует функции, и загоняет результаты в какую-нибудь-там хэш-таблицу или чего там еще бывает. А ты ее периодически спрашиваешь, как проинтегрировать то-то-и-то-то, и если прога нашла уже - отвечает. Разумеется, линейность этой процедуры тоже надо учесть, и прочие свойства.

[Brukvalub]

AD в сообщении #192243 писал(а):

Кстати, а это ведь автоматизировать можно! Сажаем в background программу, которая все время дифференцирует функции, и загоняет результаты в какую-нибудь-там хэш-таблицу или чего там еще бывает. А ты ее периодически спрашиваешь, как проинтегрировать то-то-и-то-то, и если прога нашла уже - отвечает. Разумеется, линейность этой процедуры тоже надо учесть, и прочие свойства.

Я как-то заинтересовался алгоритмами символьного интегрирования и немного почитал по этой теме.
И вот что я Вам, AD, скажу.
Ваше предложение - просто детский лепет по сравнению с том, что уже наворочено в этой науке. Сообщу Вам по секрету - там уже вовсю используются даже довольно глубокие факты из алгебраической геометрии....

[AD]

Ну тогда ладно.

[vvvv]

За бугром есть форум (ссылку найти надо), где в этом деле соревнуются - впереди, по-моему, японцы!

[Алексей К.]

Неокружность $x(s)+\mathrm{i}y(s)$, радиус кривизны которой в каждой точке точке равен полярному радиусу, есть

$$ \int{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left( \underbrace{\sqrt[3]{\sqrt{1+{\scriptstyle\frac{9}{4}} s^2}+{\scriptstyle\frac32} s}-\sqrt[3]{\sqrt{1+{\scriptstyle\frac94} s^2}-{\scriptstyle\frac32} s} }_{=\theta(s)} \right)}}\mathrm{d}s=(1-\theta^2)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta+\frac\pi2\right)}+2\theta \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}.$$

Всё от того, что $\frac13\theta^3(s)+\theta(s)=s$. И от излишней склонности всех натурально параметризовать...

[Nxx]

$$\int {f(x)\,dx} = x \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(2^{-n} mx ) +C$$

Вот по этой формуле, например, какие интегралы находили?