Производная суммы не равна сумме производных

[Xaositect]

unnihilator, Вы слышали о формуле Остроградского-Гаусса? Она мне кажется связанной с вашим предложением "производная площади круга есть длина его окружности"

[unnihilator]

Странно, что никто не высказывается по второму и третьему вопросам...
Тогда поступим по другому:
Имеем два куба, как функции от длины ребра (x), с объемами $V_1=x^3$ и $V_2=x^3+5$.
Найти площадь грани каждого куба $S_1$ и $S_2$, используя то, что $V'=3S$ при $x=1$. Я предлагаю такое решение: $V=\int(3S)dx$, $S_1=x^2$;$\int_x^X(3x^2)dx=5$, $S_2=X^2$; $S_1=1^3=1$,

$$\int_{1}^{X}(3x^2)dx=5$$

, $X=\sqrt[3]6$. $S_2= \sqrt[3]{36}$.
А если использовать $S_1=(V_1)'=(x^3)'=3x^2$ и $S_2=(V_2)'=(x^3+5)'=3x^2$, то в обоих случаях $S_2=S_2=1$.
Кто ответит на вопрос: $\int_{-1}^e(\frac1x)dx$=? И еще: $C=C\cdot(\frac{x}{x})=x\sqrt C\cdot\frac{\sqrt C}x$ - это в общем виде.$ \int(\frac{\sqrt C}x)d(x\sqrt C)$ -чему будет равен? А если начертить три гиперболы при $C_1=0,25$, $C_2=1$ и $C_3=9$, то что будет означать $ln1=0$?

[Mopnex]

Вы только не подумайте, что слабая активность в этой теме свидетельствует, что вы придумали что то стоящее и народ напрягся, чтобы достойно ответить. Судя по вашей писанине вы плохо знаете анализ, и просто лень вам объяснять азы.
На вскидку

unnihilator писал(а):

Кто ответит на вопрос: $\int_{-1}^e(\frac1x)dx$=?

Этот интеграл существует только в смысле главного значения.

unnihilator писал(а):

$C=C\cdot(\frac{x}{x})=x\sqrt C\cdot\frac{\sqrt C}x$ - это в общем виде.$ \int(\frac{\sqrt C}x)d(x\sqrt C)$ -чему будет равен?

Вы просто не понимаете, что между левой и правой частью нет никакой связи.

[Brukvalub]

unnihilator в сообщении #191393 писал(а):

Имеем два куба, как функции от длины ребра (x), с объемами $V_1=x^3$ и $V_2=x^3+5$

Сейчас лопну от смеха!
Эти альты совсем совесть потеряли, ленятся даже выучить формулу объема куба

unnihilator в сообщении #191393 писал(а):

Кто ответит на вопрос: $\int_{-1}^e(\frac1x)dx$=?

Какой смысл отвечать на вопросы тому, кто все равно ничему не собирается учиться.

unnihilator в сообщении #191393 писал(а):

А если начертить три гиперболы при $C_1=0,25$, $C_2=1$ и $C_3=9$, то что будет означать $ln1=0$?

"А знаете ли, что у алжирского бея под самым носом шишка? (Н.В. Гоголь, Записки сумасшедшего).

[gris]

unnihilator, ребята чем только не балуются, когда фантазии через канал лезут.

$\int _{-1}^e \frac1xdx=\ln |x|\, |_{-1}^e=1$ И не верьте тому, кто будет говорить про разные там несобственные интегралы.

Я тоже много думал над обобщением формулы интегрирования по частям. Пока дошёл только до тензора третьей степени:

$\int uwdv=uvw-\int uvdw-\int vwdu$

Я, честно говоря, не думал, что кому-то известна и более общая формула. Свою я не встречал ни в одном учебнике, а ведь с её помощью можно существенно упростить процесс интегрирования.

А Вы опубликовали только пункт1, а 2 и 3 нет.

[Xaositect]

gris в сообщении #191407 писал(а):

$\int uwdv=uvw-\int uvdw-\int vwdu$

$\int du_1u_2\dots u_n + \int u_1du_2\dots u_n +\dots + \int u_1u_2\dots du_n = u_1u_2\dots u_n + C$
Следует из формулы дифференцирования произведения.
Я не уверен, но я вроде бы видел это в каком то учебнике матана.

[Brukvalub]

Xaositect в сообщении #191415 писал(а):

Я не уверен, но я вроде бы видел это в каком то учебнике матана.

Наверняка, в учебнике матана для коневодов.

[Лиля]

Xaositect в сообщении #191415 писал(а):

$\int du_1u_2\dots u_n + \int u_1du_2\dots u_n +\dots + \int u_1u_2\dots du_n = u_1u_2\dots u_n $

Есть такая формула -в ней нет ни чего не обычного она выводиться на прямую из факта
$(u_{0}u_{1}u_{2}u_{3}\ldots u_{n})^{'}=\frac{d(u_{0}u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n})}{dx}=\frac{d(u_{0}(u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n}))}{dx}=\frac{u_{0}d(u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n})}{dx}+\frac{d(u_{0})u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n}}{dx}= \\ = \frac{u_{0}d(u_{1}(u_{2}u_{3} \ldots u_{n}))}{dx}+\frac{d(u_{0})u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n}}{dx}=\frac{u_{0}d(u_{1})u_{2}u_{3} \ldots u_{n}}{dx}+\frac{d(u_{0})u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n}}{dx} + \frac{u_{0}u_{1}d(u_{2}u_{3} \ldots u_{n})}{dx}= \ldots = \frac{d(u_{0})u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n}}{dx}+\frac{u_{0}d(u_{1})u_{2}u_{3} \ldots u_{n}}{dx}+ \ldots +\frac{u_{0}u_{1}u_{2}u_{3} \ldots d(u_{n})}{dx}$
а это равнозначно
$d(u_{0}u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n}) =d(u_{0})u_{1}u_{2}u_{3} \ldots u_{n}+u_{0}d(u_{1})u_{2}u_{3} \ldots u_{n}+ \ldots +u_{0}u_{1}u_{2}u_{3} \ldots d(u_{n})$
теперь достаточно проинтегрировать и мы получем стоящую выше формулу

unnihilator в сообщении #191393 писал(а):

Я предлагаю такое решение: $V=\int(3S)dx$, $S_1=x^2$;$\int_x^X(3x^2)dx=5$, $S_2=X^2$; $S_1=1^3=1$,

$$\int_{1}^{X}(3x^2)dx=5$$

, $X=\sqrt[3]6$. $S_2= \sqrt[3]{36}$.

Оригинальное решение -я с таким решением нахождения площади $S_2$согласна (не смотря на мелкие ошибки) только $x$ в
$V_2=x^3+5$ уже не ребро этого куба ! а это влечет за собой ошибочный вывод:

unnihilator в сообщении #191393 писал(а):

то в обоих случаях $S_2=S_2=1$.

unnihilator в сообщении #191393 писал(а):

что будет означать $ln1=0$?

-это означает что $e^0=1$

unnihilator в сообщении #191393 писал(а):

$ \int(\frac{\sqrt C}x)d(x\sqrt C)$ -чему будет равен?

$ \int(\frac{\sqrt C}x)d(x\sqrt C)= C\ln|x|+ const$

[unnihilator]

To Xaositect:
Не знаю, я же говорил, что я не МАТЕМАТИК, если Вас не затруднит - напишите, буду Вам очень признателен

Добавлено спустя 5 минут 29 секунд:

Морпеху:
Вы или с "бодуна" или случайно на этом форуме...

Добавлено спустя 3 минуты 11 секунд:

To Brukvalub:
А "морпех" - это не Ваш второй "НИК"?

[Mopnex]

unnihilator писал(а):

Морпеху:
Вы или с "бодуна" или случайно на этом форуме...

Да ну на.

[unnihilator]

To gris, Xaositect, Лиле:
$\int (u_1u_2...u_n)du_0 +\int (u_0u_2u_3...u_n)du_1+\int(u_0u_1u_3...u_n)du_2+...+\int(u_0u_1...u_{n-1})du_n=u_0u_1...u_n$.
Xaositect, в "Вашей" формуле первое слагаемое=сумме!

Добавлено спустя 14 минут 17 секунд:

To gris, Лиле: Я хотел, чтобы Вы взглянули на гиперболу, и, зная, что $\int_{x_1}^{x_2}(\frac 1x)dx$ - площадь (я надеюсь, знаете чего) от$x_1$ до $x_2$ ну НИКАК не может быть равна "1" при $x_1=-1$, а $x_2-e$, по-моему там и разрыв, и "две бесконечности"...
А еще я бы хотел, чтобы Вы объяснили, чем на этом же графике так сильно отличается $x=1$ от, скажем, $x=2$ и как на графике "увидеть" это: $\ln|x|=0$ при $x=1$!

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Лиле: Конечно, $x$ - уже не ребро этого куба, зато $X$ - ребро!

[Mopnex]

unnihilator писал(а):

To gris, Xaositect, Лиле:
$\int (u_1u_2...u_n)du_0 +\int (u_0u_2u_3...u_n)du_1+\int(u_0u_1u_3...u_n)du_2+...+\int(u_0u_1...u_{n-1})du_n=u_0u_1...u_n$.
Xaositect, в "Вашей" формуле первое слагаемое=сумме!

Вы не стесняйтесь, читайте, читайте книжки, может допрёт, что формула правильная с точностью до константы интегрирования.

[Xaositect]

Mopnex в сообщении #191895 писал(а):

Вы не стесняйтесь, читайте, читайте книжки, может допрёт, что формула правильная с точностью до константы интегрирования.

У меня там и константа стояла, но форумный TeX ее не вывел, видимо, ограничение на размер картинки.

Добавлено спустя 1 минуту 2 секунды:

unnihilator в сообщении #191880 писал(а):

To Xaositect:
Не знаю, я же говорил, что я не МАТЕМАТИК, если Вас не затруднит - напишите, буду Вам очень признателен

Боюсь, я не смогу написать здесь курс лекций матанализа.
Читайте Фихтенгольца, там все есть.

Добавлено спустя 3 минуты 34 секунды:

unnihilator в сообщении #191886 писал(а):

Xaositect, в "Вашей" формуле первое слагаемое=сумме!

Нет.
Разумеется, $u_0, u_1,\dots, u_n$ - функции одной переменной $x$.
Тогда $\int u_1(x)u_2(x)\dots u_n(x)du_0(x) = \int u_1(x)u_2(x)\dots u_n(x)u_0'(x)dx \neq u_1(x)u_2(x)\dots u_n(x)u_0(x)$ в общем случае.

[ewert]

Xaositect в сообщении #191914 писал(а):

У меня там и константа стояла, но форумный TeX ее не вывел, видимо, ограничение на размер картинки.

TeX тут не при чём, просто Вы (видимо, из патриотизма) обозначили эту константу русской буквой.

[gris]

Если мы нарисуем гиперболу $y=\frac1x$ и рассмотрим фигуру, ограниченную сверху этим графиком, снизу осью абсцисс, слева вертикальной прямой $x=1$ и справа вертикальной прямой $x=a$, где $a$ обязательно больше 1, то есть такую криволинейную трапецию, лежащую на боку, то её площадь с большой точностью будет равна $\ln a$.

Раньше именно так и считали логарифмы, рисуя огромные гиперболы на выровненных площадках. Если нарисовать просто линию $x=1$ от 0 до гиперболы, то площадь этого отрезка и будет равна $\ln 1$. Так как площадь любого отрезка с огромной точностью можно считать равной нулю, то и $\ln 1=0$.

Кроме того, известно, что определённый интеграл часто даёт ошибки, так как считает отрицательные площади и просто прибавляет их к положительной части. Но если просто у гиперболы выкинуть часть, лежащую симметрично относительно нуля, то с учётом отрицательной площади слевва от нуля, интеграл будет давать приблизительно правильный ответ.