Пусть
--- радиус сферы,
--- полный заряд (уже дырявой) сферы, а граница отверстия представляет собой окружность радиуса
. Толщина сферы равна нулю (как и подобает приличной сфере). Тогда, если я не ошибся при вычислениях, потенциал поля проводящей сферы с отверстием
![\begin{equation*}
\varphi(\vec{r})
=
\begin{cases}
-
\dfrac{2R}{r'}E_0\dfrac{\sqrt{|\eta'|}}{\pi}
\left(
\dfrac{\sqrt{\xi'}}{a}\arctg\dfrac{a}{\sqrt{\xi'}}
-
1
\right)
,\
\dfrac{4R^2}{r'^2}\vec{r}\,'\cdot\vec{k}>0
\\
-
\dfrac{2R}{r'}E_0\dfrac{\sqrt{|\eta'|}}{\pi}
\left(
\dfrac{\sqrt{\xi'}}{a}\arctg\dfrac{a}{\sqrt{\xi'}}
-
\dfrac{\sqrt{\xi'}}{a}\pi
-
1
\right)
,\
\dfrac{4R^2}{r'^2}\vec{r}\,'\cdot\vec{k}<0
\end{cases}
\end{equation*}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/4/864c848ea50f76b77266855b48e33ff682.png "\begin{equation*}
\varphi(\vec{r})
=
\begin{cases}
-
\dfrac{2R}{r'}E_0\dfrac{\sqrt{|\eta'|}}{\pi}
\left(
\dfrac{\sqrt{\xi'}}{a}\arctg\dfrac{a}{\sqrt{\xi'}}
-
1
\right)
,\
\dfrac{4R^2}{r'^2}\vec{r}\,'\cdot\vec{k}>0
\\
-
\dfrac{2R}{r'}E_0\dfrac{\sqrt{|\eta'|}}{\pi}
\left(
\dfrac{\sqrt{\xi'}}{a}\arctg\dfrac{a}{\sqrt{\xi'}}
-
\dfrac{\sqrt{\xi'}}{a}\pi
-
1
\right)
,\
\dfrac{4R^2}{r'^2}\vec{r}\,'\cdot\vec{k}<0
\end{cases}
\end{equation*}")
где
--- радиус-вектор, отсчитываемый от центра сферы,
--- вектор единичной длины, направленный вдоль оси симметрии дырявой сферы от ее центра к отверстию,
--- некоторая константа, имеющая размерность напряженности поля и определяемая из условия равенства полного заряда дырявой сферы
.
Добавлено
Это поле представляет собой инверсию поля заземленной проводящей плоскости и круглым отверстием, экранирующей однородное поле, находящееся по одну сторону от него, т.е. того самого поля, о котором
Утундрий писал(а):
Есть в ЛЛ т.8 решение задачи о проводящей плоскости с круглым отверстием по одну сторону от которой поле ассимптотически постоянно и перпендикулярно плоскости. Можно ее привлечь.
Инверсия была проведена так, чтобы эта плоскость преобразовалась в сферу с круглым отверстием.
Однако, как оказалось при ближайшем рассмотрении, найденное таким образом поле не является полем заряженной проводящей сферы с отверстием. Похоже на то, что это поле этой самой заряженной проводящей сферы с отверстием, только находящейся в поле точечного диполя, расположенного на ней в точке ее пересечения со своей осью симметрии. (Именно из-за такого хитрого расположения этого диполя я его не смог сразу разглядеть.)
