Замена переменной в функциональном интеграле.

[Alexx]

Я не математик, а физик(и студент пока еще),- так что, если мой вопрос покажется наивным, то уж ничего не поделаешь.

Интегрирование производится по гауссовской, либо по винеровской мере...
Однако, к вопросу... Допустим, новая переменная Y представляет собой свертку исходного процесса с некоторым ядром. Стандартная процедура тут, как известно, состоит в дискретизации данного функционала и затем уже в вычислении якобиана для этого дискретного варианта. Якобиева матрица имеет простой вид, так что в конечном счете якобиан имеет вид бесконечного произведения. Дальше осуществляется предельный переход к континууму. Но!!! Тут результат, как известно, будет зависеть от того, как производилась дискретизация: например, в средней точке(Стратонович) или в крайней(Ито) ...
С точки зрения применения функционального интегрирования в квантовой механике, делается выбор в пользу дискретизации по Стратоновичу. Мотивировка этого выбора состоит в том, чтобы получать решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера (калибровочная инвариантность).
Так вот вопрос мой состоит в том, что, если я применяю метод функционального интегрирования не для решения квантовомеханических проблем, то из каких соображений я должен обосновывать тот или иной вариант дискретизации при функциональной замене переменных? А то меня просто-таки пугает этот волюнтаризм... Заранее спасибо за комментарии, мнения, ответы...

[Котофеич]

Alexx писал(а):

Я не математик, а физик(и студент пока еще),- так что, если мой вопрос покажется наивным, то уж ничего не поделаешь.

Интегрирование производится по гауссовской, либо по винеровской мере...
Однако, к вопросу... Допустим, новая переменная Y представляет собой свертку исходного процесса с некоторым ядром. Стандартная процедура тут, как известно, состоит в дискретизации данного функционала и затем уже в вычислении якобиана для этого дискретного варианта. Якобиева матрица имеет простой вид, так что в конечном счете якобиан имеет вид бесконечного произведения. Дальше осуществляется предельный переход к континууму. Но!!! Тут результат, как известно, будет зависеть от того, как производилась дискретизация: например, в средней точке(Стратонович) или в крайней(Ито) ...
С точки зрения применения функционального интегрирования в квантовой механике, делается выбор в пользу дискретизации по Стратоновичу. Мотивировка этого выбора состоит в том, чтобы получать решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера (калибровочная инвариантность).
Так вот вопрос мой состоит в том, что, если я применяю метод функционального интегрирования не для решения квантовомеханических проблем, то из каких соображений я должен обосновывать тот или иной вариант дискретизации при функциональной замене переменных? А то меня просто-таки пугает этот волюнтаризм... Заранее спасибо за комментарии, мнения, ответы...

В общем случае функциональный интеграл и детерминант вообще не определены
однозначно. Все зависит от того какой функционал интегрируется. Если собираетесь СДУ
решать, то неопределенность о которой Вы говорите, связана только с неопределенностью
формы самого СДУ--Ито или Стратонович.

[Аурелиано Буэндиа]

Alexx писал(а):

Я не математик, а физик(и студент пока еще),- так что, если мой вопрос покажется наивным, то уж ничего не поделаешь.

Интегрирование производится по гауссовской, либо по винеровской мере...
Однако, к вопросу... Допустим, новая переменная Y представляет собой свертку исходного процесса с некоторым ядром. Стандартная процедура тут, как известно, состоит в дискретизации данного функционала и затем уже в вычислении якобиана для этого дискретного варианта. Якобиева матрица имеет простой вид, так что в конечном счете якобиан имеет вид бесконечного произведения. Дальше осуществляется предельный переход к континууму. Но!!! Тут результат, как известно, будет зависеть от того, как производилась дискретизация: например, в средней точке(Стратонович) или в крайней(Ито) ...
С точки зрения применения функционального интегрирования в квантовой механике, делается выбор в пользу дискретизации по Стратоновичу. Мотивировка этого выбора состоит в том, чтобы получать решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера (калибровочная инвариантность).
Так вот вопрос мой состоит в том, что, если я применяю метод функционального интегрирования не для решения квантовомеханических проблем, то из каких соображений я должен обосновывать тот или иной вариант дискретизации при функциональной замене переменных? А то меня просто-таки пугает этот волюнтаризм... Заранее спасибо за комментарии, мнения, ответы...

Если я Вас правильно понял, то Вас волнует в каком виде брать действие в допредельной форме $S(q_{j+1},q_j)$? Насколько я понимаю вопрос сводится к необходимой точности вычисления $S(q_{j+1},q_j)$. Действие можно записать в виде ряда
$S(q_{j+1},q_j)=S_{\text{st}}(q_j,\triangle)+\text{экстрачлены}$, где $\triangle=q_{j+1}-q_j$, а $S_{\text{st}}$ -- стандартное действие (по крайней точке). Два подхода, которые Вы упомянули отличаются экстрачленами. По Ито $\text{экстрачлены}=0$. Чтобы определить какие экстрачлены нужно удерживать необходимо посмотреть какое ДУ получается. Для этого нужно знать как обращаться с экстрачленами. Дело осложняется тем что экстрачлены могут быть не гауссовыми. Здесь могут помочь правила эквивалентности.

[Alexx]

Вот тут приведена ссылка на одну статью, где присутствует одна из ипостасей замены переменной. Для получения "path integral solution for non-markovian noise"...

http://rapidshare.de/files/20226524/102.pdf.html

Безусловно, замена переменной может встречаться совсем в других обстоятельствах и совсем для других целей, но везде она сопровождается процедурой дискретизации и выбором типа дискретизации: midpoint discretization(а ля Стратонович) или иного...
В данной статье автор использует midpoint discretization. Между формулами 2.4 и 2.5
автор мотивирует свой выбор так:"symmetric choise implies the correct transformation properties if we make change of variables x->y(x)" Вот этот момент мне не ясен. Какие это такие правильные свойства при замене переменных?

[Котофеич]

Alexx писал(а):

Вот тут приведена ссылка на одну статью, где присутствует одна из ипостасей замены переменной. Для получения "path integral solution for non-markovian noise"...

http://rapidshare.de/files/20226524/102.pdf.html

Безусловно, замена переменной может встречаться совсем в других обстоятельствах и совсем для других целей, но везде она сопровождается процедурой дискретизации и выбором типа дискретизации: midpoint discretization(а ля Стратонович) или иного...
В данной статье автор использует midpoint discretization. Между формулами 2.4 и 2.5
автор мотивирует свой выбор так:"symmetric choise implies the correct transformation properties if we make change of variables x->y(x)" Вот этот момент мне не ясен. Какие это такие правильные свойства при замене переменных?

Я чего йто там не нашел этой писульки. Дайте прямую ссылку.
Вот здесь есть метод, который позволяет избегать этой трудности.
http://66.249.93.104/search?q=cache:vFw ... clnk&cd=15
Вообще имейте ввиду, что функциональные методы которые изложены в литературе,
применяются не к самому СДУ, а к уравнениям Фоккера-Планка. Если Вам нужно классическое решение в смысле ИТО, то таким способом, вообще его получить невозможно,
поскольку прямая связь между СДУ и ФП существует только при очень сильных ограничениях
на коэффициенты (прямая и обратная теоремы Колмогорова для диффузионных процессов)
ФП строго говоря, дает плотность вероятности для обобщенных решений которые вообще
говоря имеют разрывы.

[Котофеич]

Alexx писал(а):

Я не математик, а физик(и студент пока еще),- так что, если мой вопрос покажется наивным, то уж ничего не поделаешь.

Интегрирование производится по гауссовской, либо по винеровской мере...
Однако, к вопросу... Допустим, новая переменная Y представляет собой свертку исходного процесса с некоторым ядром. Стандартная процедура тут, как известно, состоит в дискретизации данного функционала и затем уже в вычислении якобиана для этого дискретного варианта. Якобиева матрица имеет простой вид, так что в конечном счете якобиан имеет вид бесконечного произведения. Дальше осуществляется предельный переход к континууму. Но!!! Тут результат, как известно, будет зависеть от того, как производилась дискретизация: например, в средней точке(Стратонович) или в крайней(Ито) ...
С точки зрения применения функционального интегрирования в квантовой механике, делается выбор в пользу дискретизации по Стратоновичу. Мотивировка этого выбора состоит в том, чтобы получать решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера (калибровочная инвариантность).
Так вот вопрос мой состоит в том, что, если я применяю метод функционального интегрирования не для решения квантовомеханических проблем, то из каких соображений я должен обосновывать тот или иной вариант дискретизации при функциональной замене переменных? А то меня просто-таки пугает этот волюнтаризм... Заранее спасибо за комментарии, мнения, ответы...

С теорией замены переменной в бесконечномерном случае можно ознакомиться здесь
arXiv:math.FA/0211196 v1 13 Nov 2002

[Alexx]

Здравствуйте, Котофеич.
Что касается той ссылки, которую я дал
http://rapidshare.de/files/20226524/102.pdf.html, то она работает!!!

Там просто в появившемся окошке надо кликнуть на кнопку "free" и уже в следующем окошке скачивать. Прямую ссылку дать не могу, т.к. этот файл был у меня на моем компьютере и я его специально разместил на rapidshare.de. Я нашел статью, которую Вы
указали (arXiv:math.FA/0211196 v1 13 Nov 2002)... Весьма тяжеловесная статья...в таком, я бы сказал, абстрактно-формалистическом духе... Я пока еще не понял основной сути того, что там происходит...

Что касается собственно уравнения Фоккера-Планка... То тут-то в ракурсе функционально-вариационного подхода (формула Фурутсу-Новикова, Малахова-Дубкова) проблемы перехода к ур-ю Фоккера-Планка(любимая физиками K-форма) от стохастического ур-я особой нет: переход к уравнению Лиуввиля посредством индикаторной функции и последующее его усреднению по входному процессу (естественно, замкнутый результат может быть получен для небольшого класса уравнений).

Подход Ито-Стратоновича (и возникающая в рамках этих подходов дилемма ) мне честно говоря не нравился никогда... Просто в рамках континуального интегрирования возникает
дилемма, схожая с дилеммой Ито-Стратоновича... Ряд авторов (в частности в этой статье, которую я выложил на rapidshare.de) достаточно туманно мотивируют свой выбор в пользу
"midpoint discretization", объясняя, например, что :"symmetric choise implies the correct transformation properties if we make change of variables x->y(x)". Вот этот-то момент мне и неясен: какие это правильные "трансформационные" свойства при замене переменных?.
Как я мог понять, сходимость к разным приделам (дилемма в духе Ито-Стратоновича) характерна только для интегрирования по мере дельта-коррелированного процесса(винеровская мера) или стох-е интегралы Ито-Стратоновича. Так ли это?

[Котофеич]

Хорошо, я завтра почитаю и разберусь в чем там дело. В физической литературе
часто путают решения в смысле ИТО и в смысле обобщенных случайных процессов. Уравнения ИТО не имеют физического смысла, они записываются в форме стохастического дифференциала, который не имеет прямого физического смысла. От этого и неоднозначность
потому что этот дифференциал можно по разному определять. В статье применяется метод
априорных оценок функционального интеграла, однако это не статья, а тезисы доклада и
задача очень сложная ею многие занимались. Что будет не ясно потом объясню.
Функциональный метод перехода от СДУ к уравнению ФП чисто формальный. Если коэффициенты СДУ не ограничены то он просто некорректен, потому что у решений таких СДУ вообще нет гладкой плотности распределения. Функциональный интеграл в этом случае, также (если существует) задает обобщенное решение для ФП а не классическое, как часто
думают физики. Метод перевала который используют физики для вычисления функционального интеграла, это чисто формальный прием и этот же результат всегда может быть получен и без интегралов, например в рамках ВКБ и его обобщений.

[Alexx]

Что-то никого тема не заинтересовала... Неужели никто не сталкивался с данной проблемой?

[Котофеич]

Alexx писал(а):

Что-то никого тема не заинтересовала... Неужели никто не сталкивался с данной проблемой?

То что не заинтересовала, так это и естественно. Эта тема относится к физике.
Математический народ кроме меня и альбеверио мало интересуеся этой проблематикой.
Ну а чем я Вас не устраиваю Если Вы когда ни будь что ни будь захотите опубликовать
на эту тему в серьезнлм журнале, то мое мнение будет решающим. А если мою главную тему
выставили здесь в дискуссионном порядке, то это не о чем не говорит. Все зависит от того
что кому нужно...

[Аурелиано Буэндиа]

Alexx писал(а):

Что-то никого тема не заинтересовала... Неужели никто не сталкивался с данной проблемой?

Alexx, может я Вас неправильно понял, но что Вы можете сказать по поводу моего ответа?

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Alexx писал(а):

Что-то никого тема не заинтересовала... Неужели никто не сталкивался с данной проблемой?

Alexx, может я Вас неправильно понял, но что Вы можете сказать по поводу моего ответа?

Да он сам не знает что ему нужно. Я обяснил как нужно.Если не верит, то это его трудности. Все зависит от того что конкретному человеку нужно. Цели естественно разные...одним нужно проблемы решать, а матемаикам нужен простой базар, для оправданиям своей беспомощности в фундаментальных вопросах. Современная наука давным давно вступила в коплексную или как принято говорить в интердисциплинарную фазу своего развития. Так что сурьезные проблемы решают вовсе не наивные математики а
совсеим другие...

[Alexx]

Во-первых:

Цитата:

Да он сам не знает что ему нужно. Я обяснил как нужно.Если не верит то это его трудности. Все зависит от того что человеку нужно. Цели естественно разные...

Уважаемый Котофеич, я вот выше цитату из Вас привел... По-моему, как говорится, комментарии тут излишни!!!
Смысл: при полном отсутствии конструктивных высказываний и предложений по поводу интересующей меня проблемы (надеюсь, что не только меня), Вы подспудно выдаете
два post-а весьма СТРАННОГО содержания, которые (мягко говоря) смотрятся не очень адекватно контексту...

Во-вторых: странным кажется мне Ваше утверждение о том, что проблема эта не математическая, а чисто физическая...

В-третьих:

Цитата:

Alexx, может я Вас неправильно понял, но что Вы можете сказать по поводу моего ответа?

Уважаемый Аурелиано Буэндиа, я имел в виду дискретизацию не только действия: дискретизация встречается и чисто при вычислении функ-х интегралов и при функциональной замене переменных(вычисление Якобиана) и при дискретизации обобщенного ур-я Ланжевена(выше я приводил статью, где дискретизируется обобщ. ур-е Ланжевена).
И мне тут непонятна мотивировка при выборе типа дискретизации: midpoint , endpoint, итд.
Ряд авторов утверждает, что разные типы дискретизации после предельного перехода
приводят к разным результатам, другие говорят, что результат предельного перехода
не зависит от типа дискретизации, ряд авторов дает невнятные ответы, некоторые просто
подгоняют ответ под условия нормировки.
Вот цитата из Вас с моими вопросами там же:

Цитата:

Если я Вас правильно понял, то Вас волнует в каком виде брать действие в допредельной форме ? Насколько я понимаю вопрос сводится к необходимой точности вычисления

(А какая она должна быть? Я видел статью, где утверждается, что она должна быть не ниже O(e^(1+a)), где a>0. Но чем это мотивированно, там не поясняется ).
Действие можно записать в виде ряда
, где , а -- стандартное действие (по крайней точке). Два подхода, которые Вы упомянули отличаются экстрачленами. По Ито . Чтобы определить какие экстрачлены нужно удерживать необходимо посмотреть какое ДУ получается.

О каком ДУ идет речь и как вид этого ДУ сказывается на том какие именно экстрачлены
надо удерживать?

Для этого нужно знать как обращаться с экстрачленами.
В смысле?

Дело осложняется тем что экстрачлены могут быть не гауссовыми. Здесь могут помочь правила эквивалентности.
Тоже не ясно, что тут конкретно имеется в виду...

И все же, инвариантен ли функциональный интеграл (после предельного перехода) по отношению к типу дискретизации(midpoint, endpoint, итд)?

[Котофеич]

Сформулируйте пожалуйста Вашу проблему на стандартном общепринятом математическом языке. В сурьезной математике нет Фейнманов и ихних интегралов. Там есть только интеграл
Лебега с извесными несущественными модификациями.

[Alexx]

И еще... Не побоюсь небольшого оффтопика...
Уважаемый Котофеич, есть конечно вечный спор между физиками и лириками, но
похоже, что и между физиками и математиками он тоже имеет место быть...
Вы помнится разместили в одном из своих постов ссылку на некоего автора с замечательной
французской фамилией Коломбю... Я там увидел и тензорный формализм и еще много чего
Ынтересного... Но это статья одна из МНОГИХ, где во всякого рода формализмах смысл теряется окончательно (и бесповоротно)... Причем ИМЕННО смысла-то обычно бывает ни на ГРОШ... Да порой и ценность-то его сомнительна... Замечательно по поводу того, что порой математика вырождается в нечто совершенно неудобоваримое и анекдотическое (эдакий инопланетный манускрипт, написанный на языке загадочных иероглифов. И вся трудность тут состоит в переводе на человеческий язык.), говорил и писал акад. В.И. Арнольд... Повторять его слова не буду...