Парадокс неожиданной казни

[Nxx]

Еще как получится. Хотя что вы называете "формальным парадоксом"?

[TypucT]

см. ниже

[epros]

Nxx писал(а):

Еще как получится. Хотя что вы называете "формальным парадоксом"?

Интересно, а что Вы считаете формальным парадоксом?

Задача про казнь - это просто чуть более усложнённый вариант приведённой Вами же задачи про подарок жене:
Высказывание $A$: "Жена не узнает, что ей подарит муж".
Высказывание $B$: "Муж подарит жене браслет".
Высказывание мужа $C$: $A \wedge B$.

С точки зрения жены: $B \rightarrow \neg A$. Поэтому $C \rightarrow 0$, и в силу закона $0 \rightarrow p$ (для любого $p$) с точки зрения жены из заявления мужа может следовать всё, что угодно.

В чём тут формальное противоречие?

[Nxx]

В том-то и парадокс, что противоречия нет.

Причем, это только с точки зрения жены $B \rightarrow \neg A$, а не с точки зрения мужа. Такие вещи, как я уже говорил на первой странице, формализуются в доксатической логике: http://en.wikipedia.org/wiki/Doxastic_logic

[TypucT]

Условие противоречиво.

Обозначим $D(k)$ предложение «казнь состоится в $k$-й день недели», $\mathcal{V}_D(k)$ - «можно доказать $\neg D(1)\&...\&\neg D(k-1)\to D(k)$».

Предполагается, что если доказано $\neg D(1)\&...\&\neg D(k-1)\to D(k)$, то доказано и $\mathcal{V}_D(k)$. (В формальной арифметике это утверждение можно доказать)

Начальник сказал:

$$ \begin{array}{ll} 1. & D(1) \vee … \vee D(7)\\ 2. & (D(1) \to \neg \mathcal{V}_D(1)) \& … \& (D(7) \to \neg \mathcal{V}_D(7)) \end{array} $$

Заключенный правильно рассуждал:

$$ \begin{array}{lll} 3. & \neg D(1) \& …\& \neg D(6) \to D(7) & $ из 1 “если меня не казнят до воскресенья, то казнят в воскресенье”$\\ 4. & \mathcal{V}_D(7) & $ из 1-3 «в полдень субботы я буду знать о казни в воскресенье»$\\ 5. & D(7) \to \neg \mathcal{V}_D(7) & $ из 2 «по словам начальника я не буду знать день своей казни»$\\ 6. & \neg D(7) & $ из 4, 5 «В воскресенье меня казнить не могут!»$\\ 7. & D(1) \vee … \vee D(6) & $ из 1, 6 «последний возможный день моей казни — суббота»$\\ 8. & \neg D(1) \& …\& \neg D(5) \to D(6) & $ из 7 “если меня не казнят до пятницы, то казнят в субботу”$\\ 9. & \mathcal{V}_D(6) & $ из 1-8 «я буду заранее знать что меня казнят в субботу»$\\ 10. & \neg D(6) & $ из 2, 9 «значит и ее можно исключить»$\\ … & & \\ 11. & D(1) & \\ 12. & \mathcal{V}_D(1) & $ 1-11$\\ 13. & \neg D(1) & $ 2, 12$\\ \end{array} $$

Т.о. выведена формула с ее отрицанием.

В противоречивых условиях вывести можно что угодно. Каждый день в заданных условиях преступник знал две вещи: сегодня казнь состоится и сегодня казнь не состоится. Поэтому финал задачи может быть любой: его казнят каждый день, или ни разу, или всякий день он ожидает казни и в какой-то из дней его таки казнят, или наоборот и т.д.

Как ответ можно предложить следующее: преступник ошибся в рассуждениях, когда сделал однозначный вывод.

[epros]

Nxx писал(а):

В том-то и парадокс, что противоречия нет.

Прикольно. А я-то считал, что "парадокс" - это и есть логическое противоречие.

Nxx писал(а):

Причем, это только с точки зрения жены $B \rightarrow \neg A$, а не с точки зрения мужа. Такие вещи, как я уже говорил на первой странице, формализуются в доксатической логике: http://en.wikipedia.org/wiki/Doxastic_logic

Для этого не нужна какая-то специальная логика. Просто соображения жены о том, что $B \rightarrow \neg A$, являются некорректными, а значит совместно с корректными соображениями (каковым является утверждение мужа $C$), они приводят к тому, что теория жены становится противоречивой.

Дело-то в том, что высказывание: "Жена узнает, что ей подарит муж", с позиции жены является мета-теоретическим, поэтому его неправильно путать с теоретическими высказываниями. Т.е. такое высказывание следовало бы записать:
$W \vdash P(x)$, где
$P(x)$ = "Муж подарит жене объект $x$", а
$W \vdash \dots$ означает: "Жена узнает (или: сможет доказать), что ...".

Очевидно, что принятие за истину импликации $P(x) \rightarrow (W \vdash P(x))$ (для любого $x$) является теоретической ошибкой жены.

Но ошибочная теория жены, по-моему, не является никаким парадоксом.

[Sonic86]

Что такое "парадокс"? Парадокс - это рассуждение П, в котором из выполнимых посылок логически выводится противоречие. Из определения парадокса следует, что парадоксов не существует, ибо вывести из выполнимых утверждений ложное невозможно. Именно поэтому парадоксы предъявляются именно как конструкции естественного языка, ибо там логическая структура П неясна. Таким образом, если нам предъявляют некое П и говорят, что это некое П является парадоксом, то наша задача состоит в том, чтобы строго описать парадокс - построить формальную конструкцию Ф и, если возможно, показать, где рассуждение П ошибочно.

Сразу заметим, что возможны различные формализации Ф парадокса П в силу неопределенности языковых выражений в силу того, что можно рассматривать разные аспекты того, о чем говорится в П. Поэтому, при экспликации П можно получить разные Ф1, Ф2, Ф3,... - все они должны быть непротиворечивыми. Нет необходимости искать всевозможные Ф, ибо это может продолжаться неограниченно, а для познания или понимания чего-то (в частности, парадоксов), ничего не дает, а эмоциональный стимул для поиска всех Ф может иметь только составитель парадокса - вот он пусть и ищет, раз ему это так надо.

Лично мне представляется такая формализация Ф данного парадокса П.
Пусть $X(n)$ - предикат "заключенного казнят в день $n$", где $n=1..7$. Тогда $X(1):X(2):...:X(n)$ (знак $:$ означает либо, то есть: среди всех $X(n)$ верно одно и только одно, еще лучше записать $X(1)+...+X(7)=1$) - формализация условия "заключенного казнят на этой неделе". Для простоты заметим, что день казни единственный.
Далее, мы не допускаем никаких источников несюрпризности дня казни для заключенного кроме логического вывода. То есть для заключенного $X(m)$ - неудивительно $\Leftrightarrow S \vdash X(m)$, где $S$ - все условия, которые ему будут доступны (это $X(1)+...+X(7)=1$ и еще одно, которое напишу ниже). Иначе говоря $X(m)$ - сюрприз $\Leftrightarrow X(m)$ не необходимо (если использовать язык модальностей, то это можно записать как $\neg N(sX(m))$, если не использовать, то лучше писать "невыводимо").
Наконец, мы знаем, что заключенного казнят либо в 1-й день, либо во 2-й, ... , либо в 7-й, причем, если его казнят в $k$-й день, то он знает, что $\neg X(1) \wedge ... \wedge X(k-1)$ (это 2-е условие из $S$).
Таким образом, формализация Ф парадокса П такая:
$(\forall k \in \mathbb{N})(\exists ! m \in \mathbb{N})( (1 \leq k \leq 7) \wedge (1 \leq m \leq 7) \wedge$ $\neg X(1) \wedge ... \wedge \neg X(k-1) \wedge (X(1)+...+X(7)=1) \vdash X(m))$.
Заметим, что квантор относится к высказыванию $A \vdash B$, то есть, другими словами, автор парадокса утверждает не одно, а сразу 7 высказываний вида $A \vdash B$.
Это высказывание, очевидно, неверно. Достаточно взять $k=m=1$ и заметить, что недоказуемо, что $(X(1)+...+X(7)=1) \vdash X(1)$. Недоказуемость можно показать на моделях: если заключенного казнят в 1-й день, то его при этом могут казнить и во 2-й, и в 3-й день и т.п.

Вроде правильно формализовали. Теперь можно посмотреть, что станет с рассуждениями П автора.

"В воскресенье меня казнить не могут!" - $\neg (k=7)$
"Ведь тогда уже в полдень субботы я буду знать об этом. " - $k=7$, значит$\neg X(1) \wedge ... \wedge \neg X(6) \wedge (X(1)+...+ X(7)=1)$, а $\neg X(1) \wedge ... \wedge \neg X(6) \wedge (X(1)+...+ X(7)=1) \vdash X(7)$.
"А по словам начальника я не буду знать день своей казни." $\neg N(sX(7))$
"Следовательно последний возможный день моей казни — суббота." $max k = 6$
"Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать что меня казнят в субботу, значит и ее можно исключить." - Это рассуждение как раз и неверно. Более полно оно должно быть записано так: "Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать что меня казнят в субботу, так как меня могут казнить либо в субботу, либо в воскресенье, а в воскресенье меня не казнят, значит и субботу можно исключить."
Формально: $k=5$, значит $\neg X(1) \wedge ... \wedge \neg X(5) \wedge (X(1)+...+X(7)=1) \vdash X(6)+X(7)=1$, потом $\neg X(7)$, откуда $X(6)+X(7)=1 \wedge \neg X(7) \vdash X(6)$. Это было бы верно, если было бы верно $X(7)$. Но откуда автор берет $X(7)$ здесь?! $X(7)$ было получено выше, но оно было получено при других условиях, конкретно, при $k=7$, то есть при $\neg X(1) \wedge ... \wedge \neg X(6) \wedge (X(1)+...+X(7)=1)$, но эти условия не следуют из $\neg X(1) \wedge ... \wedge \neg X(5) \wedge (X(1)+...+X(7)=1)$ - их явно недостаточно (опроврегается на модели).

Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник преступник пришел к выводу, что начальник не сможет его казнить выполнив все свои слова. - соответственно уже неверно.

[TypucT]

Sonic86 писал(а):

Иначе говоря $X(m)$ - сюрприз $\Leftrightarrow X(m)$ не необходимо ($\neg N(sX(m))$).

Непонятно это место: $X(m)$ не необходимо ($\neg N(sX(m))$).
Что значат символы $N$ и $sX$? Слова "не необходимо" можно понимать как "невыводимо из S"?

Sonic86 писал(а):

Таким образом, формализация Ф парадокса П такая:
$(\forall k \in \mathbb{N})(\exists ! m \in \mathbb{N})( (1 \leq k \leq 7) \wedge (1 \leq m \leq 7) \wedge$ $\neg X(1) \wedge ... \wedge \neg X(k-1) \wedge (X(1)+...+X(7)=1) \vdash X(m))$.
Заметим, что квантор относится к высказыванию $A \vdash B$, то есть, другими словами, автор парадокса утверждает не одно, а сразу 7 высказываний вида $A \vdash B$.

Непонятно, как формула относится к исходной задаче. Соответствующее формуле высказывание "в каждый день недели можно однозначно определить день казни". Можете объяснить?

[Sonic86]

Турист!
Я дополнил.
Зря я употребил $N(sX)$, попробуйте это не читать, это из логики Зиновьева модальности (необходимо, что имеет место состояние $sX$, где $X$ - высказывание).

Ну я формализовал и получилась такая формула. Если ее теперь проинтерпретировать (после формализации), то так и получается: "в каждый день недели можно однозначно определить день казни". Это же парадокс, значит должна получаться чушь. Это переформулировка конечных мыслей заключенного, о том, что он может определить день казни, каким бы он не был.

[epros]

Sonic86 писал(а):

Что такое "парадокс"? Парадокс - это рассуждение П, в котором из выполнимых посылок логически выводится противоречие. Из определения парадокса следует, что парадоксов не существует, ибо вывести из выполнимых утверждений ложное невозможно.

Что-то Вы мудрите. По-моему, парадокс - это просто вывод противоречия в теории, который свидетельствует о её несостоятельности. Чем более общая теория, тем более печально, когда в ней обнаруживается парадокс. Поэтому наибольшее внимание привлекают парадоксы, которые претендуют на то, чтобы продемонстрировать несостоятельность логики в целом. Но до сих пор оказывалось, что все они основаны на каких-то неявно заложенных аксиомах, т.е. демонстрируют несостоятельность теоретических воззрений автора парадокса, но не логики в целом.

Например, в примере с подарком жене продемонстрирована несостоятельность воззрений жены касательно того, что сообщение о подарке можно трактовать как сообщение о том, что она приобрела знание о подарке. Аналогично в примере с заключённым: Парадокс демонстрирует несостоятельность его воззрений относительно того, что сообшение о казни можно трактовать как сообщение о том, что он приобрёл знание о казни.

[Sonic86]

epros!
Не понимаю!!!!
Я ОПРЕДЕЛИЛ термин "парадокс" и сделал вывод!
Если Вы употребляете термин "парадокс" в другом смысле - сообщите об этом и мы с Вами будем их различать.
Например я буду говорить о П-парадоксах, а Вы о Т-парадоксах, но тогда между нашими высказываниями связи нет.
Или Вы хотите сказать, что я употребляю термин "парадокс" не так, как это общепринято?
Тогда скажите общепринятое. Я вот думал, что это - вообще не термин, или его в матлогике уже определили?
В любом случае определения термина "парадокс" на последующие рассуждения не вляют.

[epros]

Sonic86 писал(а):

Я ОПРЕДЕЛИЛ термин "парадокс" и сделал вывод!
Если Вы употребляете термин "парадокс" в другом смысле - сообщите об этом и мы с Вами будем их различать.

Вы непонятно определили, ибо неизвестно что такое "выполнимые" посылки. Если речь идёт о доказанных высказываниях, то определённое Вами понятие = "противоречие в теории".

Sonic86 писал(а):

Или Вы хотите сказать, что я употребляю термин "парадокс" не так, как это общепринято?

Наверное так, раз Вы делаете вывод, что парадоксов "не существует". Существуют, именно когда речь идёт о выводах противоречивой теории.

Sonic86 писал(а):

Тогда скажите общепринятое. Я вот думал, что это - вообще не термин, или его в матлогике уже определили?

Так сказал уже: противоречивый вывод в теории. А в матлогике, очевидно, он потому и не используется, что есть понятие противоречия, которого достаточно.

[Sonic86]

Выполнимые посылки как выполнимые высказывания (формулы).
То есть в $A \to B$, формула $A$ выполнима.

А! Так можно.
Только тогда "противоречивый вывод", это вывод (последовательность формул и т.п.), в котором доказываются $B$ и $\neg B$.

Слушайте, тогда мы действительно по-разному понимаем парадокс (хотя я уже об этом писал: у меня Ф1, а у Вас Ф2). По-Вашему, исходные предпосылки противоречивы, а по-моему - нет. Интересно, почему это они у Вас противоречивы?

Впрочем, это роли не играет, не играет роли и такое определение парадокса - я указал конкретно ошибку в рассуждениях.

[TypucT]

Sonic86 писал(а):

$X(7)$ было получено выше, но оно было получено при других условиях, конкретно, при $k=7$

Разве условия при разных $k$ не даны нам все вместе? Как вы отличаете, что что-то было получено "при других" условиях?

Добавлено спустя 4 минуты 19 секунд:

Sonic86 писал(а):

Ну я формализовал и получилась такая формула. Если ее теперь проинтерпретировать (после формализации), то так и получается: "в каждый день недели можно однозначно определить день казни". Это же парадокс, значит должна получаться чушь. Это переформулировка конечных мыслей заключенного, о том, что он может определить день казни, каким бы он не был.

Это неочевидно. Мне вот из текста задачи стало ясным, что заключенный пришел к выводу о лживости начальника, а вовсе не к тому, что он может определить день казни в каждый день недели.
Хотелось бы иметь формализацию, которая бы интерпретировалась высказываниями, максимально приближенными к тексту задачи и были в максимально возможной степени очевидными для тех, кто может прочитать и понять условие задачи. Ваша формализация мне кажется относящейся к какой-то другой задаче.

[epros]

Sonic86 писал(а):

Выполнимые посылки как выполнимые высказывания (формулы).
То есть в $A \to B$, формула $A$ выполнима.

Я так и не понял, в чём заключается "выполнимость" высказывания в Вашем понимании. Т.е. если высказывание стоит в позиции антеседента доказанной импликации, то оно автоматически становится "выполнимым"?

Sonic86 писал(а):

А! Так можно.
Только тогда "противоречивый вывод", это вывод (последовательность формул и т.п.), в котором доказываются $B$ и $\neg B$.

Ну так, да. Противоречивый вывод это и есть вывод $B \wedge \neg B$.

Sonic86 писал(а):

Слушайте, тогда мы действительно по-разному понимаем парадокс (хотя я уже об этом писал: у меня Ф1, а у Вас Ф2). По-Вашему, исходные предпосылки противоречивы, а по-моему - нет. Интересно, почему это они у Вас противоречивы?

Что значит "почему"? Потому что именно в таком случае мы говорим о "парадоксе" - когда получаем противоречивый вывод.

Sonic86 писал(а):

Впрочем, это роли не играет, не играет роли и такое определение парадокса - я указал конкретно ошибку в рассуждениях.

Э-ээ, в каких рассуждениях?