Выправляем функцию.

[Gortaur]

Вопрос: $F$ дифференцируема всюду на $[0,1]$. Может ли она не быть непрерына дифференцируема там? По-моему, из связи односторонних производных с обычной следует, что нет.

[AD]

Gortaur в сообщении #190411 писал(а):

Может ли она не быть непрерына дифференцируема там?

Может, конечно!! $F(x)=x^{3/2}\sin\frac1{\sqrt{x}}$

[Лиля]

AD в сообщении #190242 писал(а):

Лиля, существование второй производной $F''(h)$ (даже при $h=0$) я предполагать не разрешал. И, кстати, вывод, что "$F^{''}(h)<0$, $h\in[0, 0+\epsilon]$" неверен (вот если бы предел был верхний - это да).

конечно ошибки у меня есть исправлю:

мы будем рассматривать функцию $L(h)= -F(h)$ то что $L(h)$ деференцируема выходит из деференцируемости $F(h)$ а то что она дважды деференцируема на $(0, \epsilon), \epsilon > 0$ будет видно из следующей формулы из нее же будет видно что $L^{''}>0$ а знач она выпукла вниз

$$L^{''}(h)=\varliminf_{h\to0}\frac{L^{'}(h)-L^{'}(0)}{h-0}=-\varliminf_{h\to0}\frac{F^{'}(h)-F^{'}(0)}{h-0}=-\varliminf_{h\to0}\frac{F^{'} (h)-\underbrace{F^{'}(0)}_{=0}}{h-0}= -\varliminf_{h\to0}\frac{F^{'}(h)}{h}=-\frac{1}{2}\varliminf_{h\to0}\frac{F(h)}{h^{2}}= \infty$$

[AD]

Лиля, всё не так.

Лиля в сообщении #190413 писал(а):

то что $L(h)$ дважды деференцируема на $(0, \epsilon), \epsilon > 0$ будет видно из следующей формулы

Этого заведомо не будет видно, потому что функция из предыдущего поста не имеет второй производной в нуле (и даже не непрерывна там).

Лиля в сообщении #190413 писал(а):

$$\varliminf_{h\to0}\frac{L^{'}(h)-L^{'}(0)}{h-0}=-\varliminf_{h\to0}\frac{F^{'}(h)-F^{'}(0)}{h-0}$$

Переход неверен: $\varliminf(-f)=-\varlimsup f$, а не $-\varliminf f$. Это была моя первая ошибка, когда я стал заниматься такими вещями

Лиля в сообщении #190413 писал(а):

$$L^{''}(h)=...= \infty$$

И это Вы называете "имеет вторую производную"?? Вообще, функций, у которых производная (не важно, которая) всюду равна $+\infty$ или $-\infty$, не бывает.

И вообще, где Вы видели правило Лопиталя для нижних пределов?

Добавлено спустя 3 минуты 27 секунд:

Gafield, продолжаю думать.

Gafield в сообщении #190408 писал(а):

А функция на некотором интервале может совпадать с $x^3$, даже если возле нуля она $x^{3/2}$.

Ну если в окрестности нуля справлюсь, то дальше проще будет. Ну у нас проблема только "как из нуля выйти".

[AD]

Gafield, думаю,
YOU WON

Согласен с Вашим решением.

[Gafield]

Только я неправильно в уме проинтегрировал степенную функцию Площадь под прямой на $[0,t]$ будет не $F(t)/2t$, а $F(t)/2$. Впрочем, на результате это не сказывается.