Выправляем функцию.

[AD]

Пусть имеется всюду дифференцируемая функция $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ (в концах отрезка производные односторонние ), $F(0)=F'(0)=0$, но

$$\varliminf_{h\to0}\frac{F(h)}{h^2}=-\infty$$

Можно ли в этой ситуации придумать [тоже] всюду дифференцируемую на $[0,1]$ [, но теперь уже] выпуклую вниз функцию $G$, у которой [тоже] $G(0)=G'(0)=0$, и такую, что

$$\varliminf_{h\to0}\frac{F(h)+G(h)}{h^2}>-\infty$$

_________________

Мои мысли заключаются в том, что надо городить в качестве $G$ что-то типа осцилляции или максимума по $[0,x]$ выражений вида примерно $\frac{F(t+h)-F(t)}{h}-F'(t)$, но я плохо себе представляю, как это скажется на дифференцируемости*.

_________________
* Скажем, несложно понять, что функция $H(x)=\max\limits_{t\in[0,x]}F(t)$ может быть недифференцируемой на целой последовательности точек, сходящейся к нулю.
_________________
P.S. Стыдно, конечно, ставить метку "срочно", но уж как есть. На самом деле не очень срочно, но есть установка партии и правительства за недельку хотя бы это понять.

[Лиля]

а $G(h)= -F(h)+h^2$ -тебе не подойдет?

[Gafield]

Можно еще проще: $F(x)=-x^{3/2}$, $G(x)=x^{3/2}$

[AD]

Лиля в сообщении #190060 писал(а):

а $G(h)= -F(h)+h^2$ -тебе не подойдет?

Еще раз напомню, что $G$ должна быть выпуклой вниз. В Вашем предложении этого может не быть.

Gafield в сообщении #190075 писал(а):

Можно еще проще: $F(x)=-x^{3/2}$, $G(x)=x^{3/2}$

Ну теперь требуется это сделать в общем случае (про $F$ почти ничего больше не известно, кроме того, что я написал).

[Лиля]

имеем

$$\varliminf_{h\to0}\frac{F(h)}{h^2}=\varliminf_{h\to0}\frac{F^{'}(h)}{2h}=\varliminf_{h\to0}\frac{F^{''}(h)}{2}= -\infty$$

-делаем вывод что $F^{''}(h)<0$, $h\in[0, 0+\epsilon]$знач она выпукла вверх а $-F(h)$ -соответственно вниз

[Gafield]

Если $F\in C^1[0,1]$, то подойдет

$$G(x)=\int_0^x \max_{z\in[0,y]}|F'(z)|\,dy$$

. Очевидно, $G$ выпукла вниз и $F+G\ge0$.

[ИСН]

То-то будет смеха, если F осциллирует по-дурному и этот интеграл расходится близ краёв.

[AD]

Лиля, существование второй производной $F''(h)$ (даже при $h=0$) я предполагать не разрешал. И, кстати, вывод, что "$F^{''}(h)<0$, $h\in[0, 0+\epsilon]$" неверен (вот если бы предел был верхний - это да).
Gafield, и даже непрерывность первой тоже нехорошо предполагать.
_________________

А вообще у меня вот какие последние мысли.

Можно было бы взять что-то типа

$$G(h)=\int\limits_0^h\max\limits_{t\in[0,x]}\left|\frac{F(t)}t\right|\,dx$$

. Это по-прежнему (как и $G$-функция Gafieldа) хорошая функция - выпуклая и гладкая.

Но единственная проблема - не работает нифига. То есть, скажем, для $F(h)=-h^{3/2}$ получаем $G(h)=\frac23 h^{3/2}$, и всё плохо.

А что если взять

$$G(h)=2\int\limits_0^h\max\limits_{t\in[0,x]}\left|\frac{F(t)}t\right|\,dx$$

? Можно ли утверждать, что $G(h)>|F(h)|$ в окрестности нуля?

[Полосин]

До конца не уверен, но все-таки: пусть $H(x)=\max_{0\le t \le x} (-F(t))$ - монотонно неубывающая, $H(0)=0$; не ограничивая общности, считаем $H(1)=1$. Множество точек недифференцируемости этой функции не более чем счетно; занумеруем их $1 \ge x_1>x_2>...$, $x_n \rightarrow 0$. Построим теперь невозрастающую последовательность выпуклых вниз гладких функций $f_n(x)$ таких, что $f_n(1)=2$, $f_n(x)=2H(x_n)$ при $0 \le x \le x_n$. Ее предел и можно взять в качестве $G(x)$.

[AD]

Полосин, ага, еще подумаю над Вашим предложением
Это похоже на решение, но, кажется, должно быть проще.

[Gafield]

AD писал(а):

А что если взять

$$G(h)=2\int\limits_0^h\max\limits_{t\in[0,x]}\left|\frac{F(t)}t\right|\,dx$$

? Можно ли утверждать, что $G(h)>|F(h)|$ в окрестности нуля?

Нет. Можно взять $F(x)=x^3$.

Будет верно, если заменить $\left|\frac{F(t)}t\right|$ на функцию, график которой является верхним краем линейной оболочки графика $\left|\frac{F(t)}t\right|$.

[Brukvalub]

Gafield в сообщении #190267 писал(а):

график которой является верхним краем линейной оболочки графика

А что есть линейная оболочка графика? Вот про выпуклую оболочку точечных множеств я слыхал, а про линейную - пока нет

[Gafield]

Ага, имелась в виду выпуклая

[AD]

Gafield в сообщении #190267 писал(а):

Нет. Можно взять $F(x)=x^3$.

Нет, Вы не поняли идею . Эта функция не подходит, потому что $\varliminf\limits_{h\to0}\frac{F(h)}{h^2}=0$, а не $-\infty$. Я добавил двойку как раз потому, что для функций, "убывающих не быстрее $x^2$", как раз ее "должно быть" достаточно.

Добавлено спустя 3 минуты 27 секунд:

Gafield в сообщении #190267 писал(а):

Будет верно, если заменить $\left|\frac{F(t)}t\right|$ на функцию, график которой является верхним краем линейной оболочки графика $\left|\frac{F(t)}t\right|$.

Без двойки, кстати, все равно $F(x)=x^{3/2}$ подходит. Так что, может, поделитесь секретом, почему это станет верно? Или слишком просто, самому подумать?

[Gafield]

Причем тут идея? Был задан вопрос, верно или нет А функция на некотором интервале может совпадать с $x^3$, даже если возле нуля она $x^{3/2}$.
Ну, я тут в уме прикинул... верхний край выпуклой оболочки на отрезке $[0,t]$ лежит не ниже прямой $y=\frac{|F(t)|}{t^2}x$. А площадь под ее графиком на $[0,t]$ равна $|F(t)|/2t\ge |F(t)|/2$. Для $-x^{3/2}$ верхний край $\frac{|F(x)|}x=x^{1/2}$ является выпуклым вверх - совпадает с $\frac{F(x)}x$. Так что двойка нужна.