функция из $C[0,1]\setminus H^1(0,1)$

[Dan B-Yallay]

Пока что явных мыслей нет. Что-то "отговаривает" меня от того что они изоморфны

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #189287 писал(а):

Пока что явных мыслей нет. Что-то "отговаривает" меня от того что они изоморфны

Правильно отговаривает, ибо базисам Гамеля невозможно сопоставить никакой вычислительной процедуры и, следовательно, их осмысленность -- весьма сомнительна.

Ну а теперь пущай меня AD побьёть (или ещё кто нибудь).

-------------------------------------------------------------------------------------------
Пыс. Разбиение многогранников на иррациональныя углы (или какие там они) -- процедура отнюдь не вычислительная.

[Dan B-Yallay]

Берем $C[0,1]$ и несчетный базис $e_{\alpha}$ в нем. Если пространство изоморфно множеству функций почти всюду непрерывных на [0,1] ( назовем его Х ), то этот базис отображается посредством изоморфизма в несчетное множество функций $\varphi _{\alpha}$из Х. Изоморфизм подразумевает биекцию, не так ли?
Я так понимаю $\varphi _{\alpha}$ должен быть базисом в Х?

[AD]

Dan B-Yallay писал(а):

Я так понимаю $\varphi _{\alpha}$ должен быть базисом в Х?

Ну да, конечно, на то он и изоморфизм.

Добавлено спустя 1 минуту 24 секунды:

Нет, а что Вам мешает повторить предыдущее рассуждение?

[Dan B-Yallay]

AD писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Я так понимаю $\varphi _{\alpha}$ должен быть базисом в Х?

Ну да, конечно, на то он и изоморфизм.

Добавлено спустя 1 минуту 24 секунды:

Нет, а что Вам мешает повторить предыдущее рассуждение?

Щас поясню. Пусть у нас есть изоморфизм $G$.

Множествно всевозможных конечных линейных комбинаций элементов базиса $\varphi_{\alpha}$ имеет мощность не более континуума.

На отрезке [0,1] выбираем канторово множество и каждой конечной комбинации элементов $\beta(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^n \varphi_i}(x)$ из базиса $\varphi_{\alpha}$ сопоставляем точку $\xi_{\beta}$ из канторова множества.

Дале сочиняем функцию f: которая на канторовом множестве отличается ( 0 <---> 1 подобие диагонального процесса) от каждой конечной комбинации $\beta $ базиса в точке $\xi_{\beta}$ и равна нулю на остальном отрезке. Так как канторово множество имеет меру ноль, очевидно что полученная функция непрерывна почти всюду. Функция $f$ не представима в виде конечной комбинации элементов $\varphi_{\alpha}= G(e_{\alpha})$, стало быть $\varphi_{\alpha}$ никакой и не базис и потому у нас нету изоморфизма $G$

****************
В следующем посте ниже Someone намекнул на некоторые ошибки моего примера так что мои сомнения не смогли перерасти в убежденность.

[Someone]

Dan B-Yallay в сообщении #189320 писал(а):

стало быть $\varphi_{\alpha}$ никакой и не базис и потому у нас нету изоморфизма $G$

А Вы в каком линейном пространстве выбирали базис? Дело в том, что всех функций на отрезке и на канторовом совершенном множестве - $2^{\mathfrac c}$. Но в обсуждаемой задаче речь шла, насколько я заметил, не обо всех функциях, а то ли о непрерывных, то ли о каких-то классах эквивалентности.

[Dan B-Yallay]

Изначально речь шла о $C[0,1]$ и $H^1[0,1]$. меня насторожило высказывание AD которое я процитировал выше и я попытался постоить контрпример. С континуальностью множества всех функций непрерывных почти всюду я кажется погорячился и контрпример видимо не работает. Тем не менее ...

PS. Равномощность $C[0,1]$ и $H^1[0,1]$ я не оспариваю. Мне неочевиден вывод об изоморфизме, основанный на равномощности базисов.

[Someone]

Dan B-Yallay в сообщении #189332 писал(а):

Мне неочевиден вывод об изоморфизме, основанный на равномощности базисов.

Ну, устанавливаем взаимно однозначное соответствие между базисами. Оно даёт взаимно однозначное соответствие между конечными линейными комбинациями векторов базисов (просто заменяя базисные векторы соответствующими векторами из другого пространства и сохраняя коэффициенты при них). Бесконечные линейные комбинации не рассматриваются. Никакой топологии не предполагается. Алгебраическая структура при таком соответствии сохраняется, то есть, имеем изоморфизм алгебраических структур. А что никакой непрерывности и в помине не получится, в данном случае не важно.

[Лиля]

Dan B-Yallay в сообщении #189284 писал(а):

Берем пространства $C[0,1]$ и пространство кусочно-непрерывных почти всюду функций на [0,1] (или просто $C[0,1)$ )
Будут ли эти два множества изоморфны?

хм... интресный вопрос решаться наверно ужасно длинно... но на первый взгляд поскольку функции то кусочно непрерывны то последняя еденичка ничего не меняет (кусочно непрерывных функций состоящих из одной точки как я понимаю не существует) -эти множества изоморфны

[Dan B-Yallay]

Ндаа...
Я изложил тут заумное доказательство неизоморфности двух заведомо неравномощных множеств. Что бы еще такого очевидного доказать...

[ASA]

nckg писал(а):

Существует ли непрерывная функция из $C[0,1]$, не принадлежащая $H^1(0,1)$?

Поскольку функции из $H^1(0,1)$ абсолютно непрерывны, подйдет любая непрерывная функция, не являющася абсолютно непрерывной.

[AD]

ASA, Вы, конечно, гений, но задача была решена еще на первой странице темы.

Кстати, я вот так подумал, а ведь тут еще куча сформулированных, но нерешенных (в рамках меня, во всяком случае) вопросов осталась. Скажем,

nckg писал(а):

... из сходимости по этой норме должна следовать сходимость по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$...
Следует ли отсюда, что норма $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ подчинена норме $\|\cdot\|'$, т.е. существует $C_1=const$:

$$\|x\|_{C[0,1]}\leqslant C_1\|x\|' ?$$

Вообще, если сходимости подчинены - значит ли, что нормы подчинены?

[id]

Если из сходимости по норме $|| \cdot ||_2$ следует сходимость по норме $|| \cdot ||_1$, то всякое замкнутое множество в $|| \cdot ||_1$ будет замкнутым в $|| \cdot ||_2$.
( в самом деле, пусть $M$ не замкнуто в $|| \cdot ||_2$. Тогда существует точка, не принадлежащая $M$, для которой есть сходящаяся к ней в $|| \cdot ||_2$ последовательность точек из $M$. Согласно предположению, она будет сходиться и в $|| \cdot ||_1$)
Если одна нормированная топология мажорирует другую, то и нормы сравнимы.

[ewert]

AD писал(а):

Скажем,

nckg писал(а):

... из сходимости по этой норме должна следовать сходимость по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$...
Следует ли отсюда, что норма $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ подчинена норме $\|\cdot\|'$, т.е. существует $C_1=const$:

$$\|x\|_{C[0,1]}\leqslant C_1\|x\|' ?$$

Вообще, если сходимости подчинены - значит ли, что нормы подчинены?

Да, элементарно следует. Если нарушается условие подчинённости норм: $\|x\|_2\leqslant C\|x\|_1\ (\forall x)$, то на некоторой последовательности $\{x_n\}$ будет $\|x_n\|_2>M_n\|x_n\|_1$ с некоторым $M_n\to\infty$, причём эти соотношения сохраняются при любой перенормировке каждого из элементов $x_n$. Выбирая $\|x_n\|_1\equiv M_n^{-1/2}$, получим $\|x_n\|_2>M_n^{1/2}$. Т.е. по норме $\|\cdot\|_1$ последовательность $\{x_n\}$ стремится к нулю, в то время как по норме $\|\cdot\|_2$ вообще ни к чему не стремится.

[AD]

Да, согласен!

Чего-то кучи вопросов не получается, да?..