Гауссова и средняя кривизна поверхности - ноль -> плоскость

[ewert]

Я бы сказал так (Утундрий вроде именно это в самом начале и предлагал, но как-то вяло). Равенство кривизн нулю означает, что в каждой точке поверхность задаётся уравнением $\widetilde z=o(\widetilde x^2+\widetilde y^2)$, где $\widetilde x$, $\widetilde y$ и $\widetilde z$ -- это локальные координаты с центром в данной точке, причём ось $\widetilde Z$ направлена по нормали к поверхности. После разворота и сдвига этих осей в "глобальное" положение функция, задающая поверхность, в каждой точке останется в первом приближении линейной, т.е. будет $z(x,y)=z_0+A(x,y)\cdot\Delta x+B(x,y)\cdot\Delta y+o(\Delta x^2+\Delta y^2).$ Другими словами, матрица вторых производных -- тождественно нулевая. Ну а это уж в точности означает, что функция $z(x,y)$ линейна, т.е. задаёт плоскость.

Это, конечно, работает только там, где поверхность не "вертикальна". Но вот тут как раз и подойдут соображения Brukvalub насчёт компактности.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #189725 писал(а):

Другими словами, матрица вторых производных -- тождественно нулевая. Ну а это уж в точности означает, что функция $z(x,y)$ линейна, т.е. задаёт плоскость.

Почему означает?
Вам не удастся уйти от ответа на этот Главный вопрос с помощью очередной маловразумительной скороговорки, как не удалось уйти от ответа на него и мне

[ewert]

Подразумевается, что этот переход подразумевается.

А если нет, то так. Из $z''_{xx}\equiv0$ следует, что $z(x,y)\equiv A\cdot x+C(y).$ После чего из $z''_{yy}\equiv0$ следует, что $C(y)\equiv B\cdot y+D.$

[BVR]

В пединституской книжке по дифференциальной геометрии это доказывается из формул, выражающих полную и среднюю кривизну через коэффициенты первой и второй квадратичных форм.
Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия, ч. 2, М. Просвещение, 1987
параграф 59.

[ewert]

Пафос в том, что нет необходимости ничего выражать явно. Вполне достаточно того, что в некоторой локальной системе координат вторая производная по любому направлению равна нулю.

[Утундрий]

Кстати, есть теорема существования и единственности, смысл ее в том, что если задана метрика и вторая квадратичная, причем метрика невырождена, а $b$ удовлетворяют условиям $\[b_{\alpha \beta ;\gamma } = b_{\alpha \gamma ;\beta } \]$, то поверхность восстанавливается в трехмерном объемлющем пространстве однозначно с точностью до поворотов и сдвигов. Практически это можно сделать как раз интегрируя систему $\[{\mathbf{r}}_{\mu \nu } = \Gamma _{\mu \nu }^\sigma \cdot {\mathbf{r}}_\sigma + {\mathbf{n}} \cdot b_{\mu nu } \]$. А в данном конкретном случае и интегрировать ничего не нужно, потому что сразу видно, что не существует ни одной "выводящей" за пределы касательной плоскости производной. И получится у нас какая-то криволинейная с.к. на плоскости, а какая именно - в рамках данного обсуждения несущественно.

P.S. Если это не доказательство, то я уж право и не знаю...

[Brukvalub]

Утундрий в сообщении #189849 писал(а):

А в данном конкретном случае и интегрировать ничего не нужно, потому что сразу видно, что не существует ни одной "выводящей" за пределы касательной плоскости производной. И получится у нас какая-то криволинейная с.к. на плоскости, а какая именно - в рамках данного обсуждения несущественно.

P.S. Если это не доказательство, то я уж право и не знаю...

Вот эта болтовня - НЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
А вот это рассуждение:

Утундрий в сообщении #189849 писал(а):

Кстати, есть теорема существования и единственности, смысл ее в том, что если задана метрика и вторая квадратичная, причем метрика невырождена, а $b$ удовлетворяют условиям $\[b_{\alpha \beta ;\gamma } = b_{\alpha \gamma ;\beta } \]$, то поверхность восстанавливается в трехмерном объемлющем пространстве однозначно с точностью до поворотов и сдвигов. Практически это можно сделать как раз интегрируя систему $\[{\mathbf{r}}_{\mu \nu } = \Gamma _{\mu \nu }^\sigma \cdot {\mathbf{r}}_\sigma + {\mathbf{n}} \cdot b_{\mu nu } \]$.

можно довести до доказательства.

[Утундрий]

Brukvalub писал(а):

Вот эта болтовня - НЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

В таком случае разрешите заявить, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО в Вашем смысле этого очевидного факта лично меня не интересует.

[Brukvalub]

Утундрий в сообщении #189858 писал(а):

В таком случае разрешите заявить, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО в Вашем смысле этого очевидного факта лично меня не интересует.

Понятие строгости доказательства является объективным понятием и не зависит от Вашего по этому поводу здесь злопыхательства.

[Утундрий]

Можно относиться к задачам по-разному. Одни встретив уравнение вида $\[\dot x = 0\]$ сразу поймут, что $x=const$, другие же примутся этот факт "строго доказывать". Нравится выписывать псевдоинтеллектуальные па вокруг да около тривиальщины - ради бога, не буду мешать. Мне же для понимания сути дела вполне достаточно этой как Вы выразились "болтовни".

[AD]

Утундрий в сообщении #190025 писал(а):

Одни встретив уравнение вида $\[\dot x = 0\]$ сразу поймут, что $x=const$, другие же примутся этот факт "строго доказывать".

Есть такой грех

[ewert]

Утундрий писал(а):

Можно относиться к задачам по-разному. Одни встретив уравнение вида $\[\dot x = 0\]$ сразу поймут, что $x=const$,

Это, между прочим, смотря что понимать под точкой. Некоторые в этом месте действительно призадумаются и поймут, что не так уж во всех смыслах это и верно.

[AD]

ewert в сообщении #190029 писал(а):

Некоторые в этом месте действительно призадумаются и поймут, что не так уж во всех смыслах это и верно.

Но труъ дифгемщикам этого не понять

[Утундрий]

ewert писал(а):

Утундрий писал(а):

Можно относиться к задачам по-разному. Одни встретив уравнение вида $\[\dot x = 0\]$ сразу поймут, что $x=const$,

Это, между прочим, смотря что понимать под точкой. Некоторые в этом месте действительно призадумаются и поймут, что не так уж во всех смыслах это и верно.

Прелестно! А знаете, я ведь могу рассматривать такой подход как попытку загнать меня в ловушку бесконечного уточнения. Я скажу слово, от меня потребуют его прокомментировать и уточнить. Комментарии будут содержать еще около десятка слов, коие меня опять же попросят прокомментировать... Единственным выходом из этой дурацкой ситуации будет возврат к дискуссии на уровне фактов. Да, я согласен с тем, что при равенстве нулю второй квадратичной формы поверхность является плоскостью. Кто не согласен, пусть приведет контр-пример!

[Brukvalub]

Утундрий в сообщении #190277 писал(а):

Да, я согласен с тем, что при равенстве нулю второй квадратичной формы поверхность является плоскостью. Кто не согласен, пусть приведет контр-пример!

Тут НИКТО Вашим согласием с этим фактом НИКОГДА не интересовался.
neo66 просил помочь ему найти СТРОГОЕ доказательство упомянутой им теоремы.
В математике не принято заменять док-ва болтовней вокруг них, тем более не принято опираться на верования малых и больших народов, или прибегать к голосованию по типу "согласен - несогласен".
Вот ewert, ккак я думаю, указал на способ, СТРОГО доказывающий обсуждаемый факт.