Наименьшее значение выражения

[Georgise]

Дана система:

$\left\{ \begin{array}{l}A=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \\ a+b=1 \\ a>0, b>0 \end{array} \right $

Найти наименьшее значение, которое может принимать выражение $A$.
Мой ответ $A_{min}=12,5$
Хотелось бы узнать ваши способы решения и ответы.

[gris]

А выразить $b$ через $a$, подставить и продифференцировать?
А еще проще - обе скобки принимают наименьшее значение в одной и той же точке.
А посложнее $a=0.5-t; \quad b=0.5+t$
Ещё покруче - условным экстремумом через множитель Лагранжа.

[мат-ламер]

Можно решать через функцию Лагранжа. Получается что минимиум достигается на середине отрезка. Так что ответ Ваш верен.

[ewert]

Можно вообще практически не решать. Функция, очевидно, выпукла, и её единственный глобальный экстремум (1;1) тоже очевиден и находится за пределами области. Горизонтальная и вертикальная стенки отпадают -- там функция уходит на бесконечность. Остаётся только наклонная стенка. А там и вовсе ничего не надо считать -- в силу симметрии задачи и опять же выпуклости минимум может быть только в её середине, т.е. в точке (0.5;0.5).

[Мат]

MathCad выдал три минимума:
$a=-0.75487$

$$a=\frac 12$$

$a=1.75487$
Под заданные ограничения подпадает только

$$a=\frac 12$$

. Для него $A=12,5$

[gris]

а почему тема называется "Наибольшее значение выражения", а мы ищем наименьшее? Нет ли здесь какого-либо покушения на основы?

[ewert]

А это потому, что тема -- дискуссионная. Вот вам и повод для дискуссии.

[Georgise]

Мое решение чисто алгебраическое

Существует лемма: $a^2 + b^2 \geqslant \frac{(a+b)^2}{2}$
Тогда справедливо неравенство

$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geqslant \frac{(a+1/a+b+1/b)^2}{2}$
$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geqslant \frac{(1+\frac{1}{b-b^2})^2}{2}=B$

Чтобы найти $A_{min}$ надо найти $B_{min}$, а для этого надо найти $max$ для $b-b^2$

Рассмотрим функцию $f(b)=-b^2+b$

$f_{max}(b)=f(b_0)=|b_0=\frac{1}{2}|=\frac{1}{4}$
Т.е. $max(b-b^2)=\frac{1}{4}$. Тогда $min\left(\frac{1}{b-b^2}\right)=4$

Подставляем в выражение $B=\frac{(1+\frac{1}{b-b^2})^2}{2}=\frac{(1+4)^2}{2}=12,5$

Расписал как можно подробнее

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

gris писал(а):

а почему тема называется "Наибольшее значение выражения", а мы ищем наименьшее? Нет ли здесь какого-либо покушения на основы?

Извиняюсь, сейчас исправлю

[Руст]

Проще всего воспользоваться выпуклостью функции $f(x)=(x+\frac 1x )^2$.
Тогда $f(a)+f(b)\ge 2f(\frac{a+b}{2})=12.5$ как только $a+b=1$.

[ewert]

Georgise писал(а):

$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geqslant \frac{(1+\frac{1}{b-b^2})^2}{2}=B$

Во-первых, это непонятно откуда взято, а во-вторых -- и неверно. Подставьте $b\approx1$.

[Georgise]

ewert писал(а):

Georgise писал(а):

$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geqslant \frac{(1+\frac{1}{b-b^2})^2}{2}=B$

Во-первых, это непонятно откуда взято, а во-вторых -- и неверно. Подставьте $b\approx1$.

$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geqslant \frac{(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^2}{2}$ - это исходя из того, что неравенство

$a^2 + b^2 \geqslant \frac{(a+b)^2}{2}$ верно при любых $a$ и $b$.

Ну а приведя числитель $(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^2$ к общему знаменателю и получаем $(1+\frac{1}{b-b^2})^2$

Так что все верно на мой взгляд. И если подставить $b\approx1$ то неравенство выполнится, я проверил

[ewert]

ну, во-первых, не получаем, а во-вторых, почему Вы решили, что константа плюс два всегда больше плюс бесконечности?...

[Georgise]

ewert писал(а):

ну, во-первых, не получаем, а во-вторых, почему Вы решили, что константа плюс два всегда больше плюс бесконечности?...

Покажите, где у меня написано что-нибудь наподобие этого, пожалуйста.

[ewert]

Ну это ж Вы написали, не так ли?

Georgise писал(а):

$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geqslant \frac{(1+\frac{1}{b-b^2})^2}{2}=B$

При $b=1$ получаем слева $(a+{1\over a})^2+2$, а справа -- бесконечность, которая якобы меньше левой части.

[Georgise]

ewert писал(а):

При $b=1$ получаем слева $(a+{1\over a})^2+2$, а справа -- бесконечность, которая якобы меньше левой части.

Уважаемый:)
В условии есть такая строчка:
$\left\{ \begin{array}{l}a+b=1 \\ a>0, b>0 \end{array} \right $

Это означает, что область допустимых значений для $a$ и $b$:
$\left\{ \begin{array}{l}0<a<1 \\ 0<b<1\end{array} \right $

Т.е. $b\neq1$ по условию.
А вот если подставить $b\approx1$, например $b=0,(9)$ или просто $b=0,9$, то все получится.