К вопросу о древних греках

[AD]

в очередной байке, которая про статью 'о фонтанирующей деятельности китов', академик Арнольд писал(а):

... объём кита вычисляется по формуле $\pi R^2L$, где $\pi$ — это константа, которая для гренландских китов равна трём

[Утундрий]

Лиля
Тот же метод можно применить и к поверхностям. Погрузить поверхность в ванну и посмотреть, сколько поверхности вылилось ) Сложно, но можно... вот с длиной дуги уже не очень хорошо получается, но если повысить точность...
эдя псковский
Лобановский в подобных случаях молча совершал периодические колебания. Логично предположить, что зависимость $\[\pi (t)\]$ будет такой же.

[ewert]

да, кстати, а чему равно число "пи" на сфере?

[Утундрий]

ewert писал(а):

да, кстати, а чему равно число "пи" на сфере?

зависит от формы сферы )

[AD]

С. Уэллин в книжке 'Как не надо программировать на C++' писал(а):

Из описания Fortran для компьютеров Xerox:

Директива DATA предназначена прежде всего для присваивания имен константам. Вместо того чтобы многократно записывать число $\pi$ в виде 3.141592653589793, проще присвоить это значение переменной PI в директиве DATA и использовать имя переменной вместо длинной константы. Кроме того, это упрощает модификацию программы в случае изменения значения $\pi$.

А вы говорите ...

[gris]

Лиля писал(а):

не исключено что в других условиях $\pi$ имеет другое зачение

Я о том же и говорю. И это имеет непосредственное отношение к ВТФ. Рассмотрим кривую, заданную уравнением $|x|^n+|y|^n=1$.
При $n=2$ это окружность, и для неё $\pi=3.1415926...$.
Но легко проверить, что при $n>2$ пи этой фигуры будет уже не равно просто $\pi$. И из счётности и всюдуплотности рациональных чисел следует, что на кривой нет ни одной точки с рациональными координатами, ни одна из которых не равна нулю. А отсюда уже следует ВТФ,

[ewert]

Утундрий в сообщении #189674 писал(а):

зависит от формы сферы )

конечно, сфера имеется в виду обычная евклидова (или хотя бы риманова) -- а иначе что такое длина?

[gris]

ewert писал(а):

да, кстати, а чему равно число "пи" на сфере?

$2<\pi_\circ<\pi$

Правильно?

[ewert]

ну только почему 2-то?

[gris]

Упс. Почесал в затылке.

Если определять пи как отношение длины окружности к диаметру, а диаметр как максимальное расстояние между точками кривой, то 0. А вот если как максимальное из минимальных расстояний, то 2.

А вот если как отношение площади круга к квадрату радиуса, то если считать кругом меньшую часть сферы, ограниченной окружностью, то тоже 2.
А вот если брать большую часть окружности, то 0.

PS. Забыл $\pi$ в квадрат возвести

[ewert]

gris в сообщении #189693 писал(а):

Если определять пи как отношение длины окружности к диаметру, а диаметр как максимальное расстояние между точками кривой, то 0.

Нет, если к диаметру, то как раз два. А ноль получится, если брать как отношение к двум радиусам.

gris в сообщении #189693 писал(а):

А вот если как отношение площади круга к квадрату радиуса, то если считать кругом меньшую часть сферы, ограниченной окружностью, то тоже 2.

Нет, тогда будет $\pi_{\min}={8\over\pi}$.

gris в сообщении #189693 писал(а):

А вот если брать большую часть окружности, то 0.

Нет, тогда $\pi_{\min}={4\over\pi}$.

[TOTAL]

Что для окружности является отношением её длины к диаметру, то для сферы является отношением её площади к площади наибольшего сечения. Поэтому число пи на сфере равно четырём.

[Утундрий]

Где вы все эти пи-мин понаходили, ума не приложу...

Итак, есть сфера, пусть - единичная. Из некоторой точки выпускаем по всем направлениям отрезки геодезических длиной $R$, геометрическое место концов этих отрезков назовем окружностью на сфере. Периметр этой фигуры равен $\[2\pi \cdot \sin R\]$, а площадь $\[2\pi \cdot (1 - \cos R)\]$. Как отсюда вытащить "пи-для-сферы" должно быть понятно из предельного случая $\[R \ll 1\]$. Вот вам первое пи-для-сферы $\[\pi \cdot \frac{{\sin R}}{R}\]$, вот второе $\[\pi \cdot \left( {\frac{{\sin \frac{R}{2}}}{{\frac{R}{2}}}} \right)^2 \]$. Выбирайте, какое больше нравится...

[ewert]

Замечательные формулы. Вот и подставьте в них в качестве крайнего случая $R={\pi\over2}$ (если в определении используется диаметр) или $R=\pi$ (если подразумевается радиус).

(И раз уж разговор о греках, то правильный вариант -- это, конечно, отношение длины окружности к двум именно радиусам.)

[эдя псковский]

Утундрий писал(а):

Лиля
Тот же метод можно применить и к поверхностям. Погрузить поверхность в ванну и посмотреть, сколько поверхности вылилось ) Сложно, но можно... вот с длиной дуги уже не очень хорошо получается, но если повысить точность...
эдя псковский
Лобановский в подобных случаях молча совершал периодические колебания. Логично предположить, что зависимость $\[\pi (t)\]$ будет такой же.

Я вооще то думал ,что Лобановский это синоним Лобачевского со стороны хокея. Никогда не предполагал ,что это самостоятельная фамилия.