Последовательность (рекуррентное соотношение)

[pimeja]

Помогите выразить

$$ \Phi_n=C\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{n-m}\Phi_m + D $$

через $\Phi_0$.

Например, если формулу чуть изменить

$$ \hat{\Phi}_n=C\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m}\hat{\Phi}_m + D $$

то получим

$$ \hat{\Phi}_n=\left{ \begin{array}{c} (C-1)(1-C^2)^\frac{n}{2}(D+C\hat{\Phi}_0), n=2k\\ (1-C^2)^\frac{n-1}{2}(D+C\hat{\Phi}_0), n=2k+1\\ \end{array} $$

[maxal]

Рассмотрим производящую функцию для последовательности $(-1)^m \Phi_m$:

$$F(x) = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \Phi_m x^m$$

Рекуррентное соотношение для $\Phi_n$ влечет:

$$F(x) - \Phi_0 = x \frac{C F(x)}{1-x} - x \frac{D}{1+x}$$

Откуда

$$F(x) = \frac{(\Phi_0+(\Phi_0-D)x)(1-x)}{(1+x)(1-x(C+1))}.$$

Пусть $C\ne -2$, тогда $F(x)$ разлагается в сумму простейших дробей так:

$$F(x) = \frac{\Phi_0-D}{C+1}+\frac{2D}{C+2}(1+x)^{-1}+\frac{C ((C+2)\Phi_0-D)}{(C+1)(C+2)}(1-x(C+1))^{-1}$$

что в свою очеред при $n>0$ дает:

$$\Phi_n = (-1)^n \left( \frac{2D}{C+2} (-1)^n + \frac{C ((C+2)\Phi_0-D)}{(C+2)}(C+1)^{n-1}\right) = 2\alpha + C (\alpha - \Phi_0) (-C-1)^{n-1}$$

где $\alpha = \frac{D}{C+2}.$

Случай $C=-2$ рассматривается аналогично.

[ewert]

pimeja в сообщении #189611 писал(а):

Например, если формулу чуть изменить

, то будет сложнее. А так всё просто:

$$\Phi_{n+1}=C\sum_{m=0}^{n}(-1)^{n+1-m}\Phi_m + D= -C\Phi_n-C\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{n-m}\Phi_m + D= (-C-1)\Phi_n+2D,$$

откуда $\Phi_{n}=\alpha\cdot(-C-1)^{n}+\beta\cdot D,$ где $\alpha$ -- это произвольная постоянная и $\beta$ -- неопределённый коэффициент. Последний находится подстановкой решения с $\alpha=0$ в уравнение $\Phi_{n+1}=(-C-1)\Phi_n+2D.$ Получим $\beta={2\over C+2};$ следовательно, $\Phi_{0}=\alpha+{2D\over C+2},$ и осталось только выразить отсюда $\alpha$.

Да, а случай $C=-2,$ конечно, особый ("резонансный"), тогда это просто арифметическая прогрессия.