2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Последовательность (рекуррентное соотношение)
Сообщение25.02.2009, 23:59 
Помогите выразить
$$
\Phi_n=C\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{n-m}\Phi_m + D
$$
через $\Phi_0$.

Например, если формулу чуть изменить
$$
\hat{\Phi}_n=C\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{m}\hat{\Phi}_m + D
$$
то получим
$$
\hat{\Phi}_n=\left{
\begin{array}{c}
(C-1)(1-C^2)^\frac{n}{2}(D+C\hat{\Phi}_0), n=2k\\
(1-C^2)^\frac{n-1}{2}(D+C\hat{\Phi}_0), n=2k+1\\
\end{array}
$$

 
 
 
 
Сообщение26.02.2009, 02:12 
Аватара пользователя
Рассмотрим производящую функцию для последовательности $(-1)^m \Phi_m$:
$$F(x) = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \Phi_m x^m$$
Рекуррентное соотношение для $\Phi_n$ влечет:
$$F(x) - \Phi_0 = x \frac{C F(x)}{1-x} - x \frac{D}{1+x}$$

Откуда
$$F(x) = \frac{(\Phi_0+(\Phi_0-D)x)(1-x)}{(1+x)(1-x(C+1))}.$$
Пусть $C\ne -2$, тогда $F(x)$ разлагается в сумму простейших дробей так:
$$F(x) = \frac{\Phi_0-D}{C+1}+\frac{2D}{C+2}(1+x)^{-1}+\frac{C ((C+2)\Phi_0-D)}{(C+1)(C+2)}(1-x(C+1))^{-1}$$
что в свою очеред при $n>0$ дает:
$$\Phi_n = (-1)^n \left( \frac{2D}{C+2} (-1)^n + \frac{C ((C+2)\Phi_0-D)}{(C+2)}(C+1)^{n-1}\right) = 2\alpha + C (\alpha - \Phi_0) (-C-1)^{n-1}$$
где $\alpha = \frac{D}{C+2}.$

Случай $C=-2$ рассматривается аналогично.

 
 
 
 
Сообщение26.02.2009, 08:38 
pimeja в сообщении #189611 писал(а):
Например, если формулу чуть изменить

, то будет сложнее. А так всё просто:

$$\Phi_{n+1}=C\sum_{m=0}^{n}(-1)^{n+1-m}\Phi_m + D=
-C\Phi_n-C\sum_{m=0}^{n-1}(-1)^{n-m}\Phi_m + D=
(-C-1)\Phi_n+2D,$$

откуда $\Phi_{n}=\alpha\cdot(-C-1)^{n}+\beta\cdot D,$ где $\alpha$ -- это произвольная постоянная и $\beta$ -- неопределённый коэффициент. Последний находится подстановкой решения с $\alpha=0$ в уравнение $\Phi_{n+1}=(-C-1)\Phi_n+2D.$ Получим $\beta={2\over C+2};$ следовательно, $\Phi_{0}=\alpha+{2D\over C+2},$ и осталось только выразить отсюда $\alpha$.

Да, а случай $C=-2,$ конечно, особый ("резонансный"), тогда это просто арифметическая прогрессия.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group