К вопросу о древних греках

[Виктор Ширшов]

«Вот интересное дело. Откуда древние греки могли знать, что площадь сферы ровно вчетверо больше площади большого сечения соответствующего шара? Ведь интегрировать они не умели — это точно. Откуда я это взял — не спрашивайте. Откуда-то давно взял, откуда точно — погибло в склерозе. За то, что эти самые греки могли внятно отличать «точно» от «приблизительно», говорит тот факт, что они долго парились с квадратурой круга, а не удовлетворились одним из многочисленных приближенных решений.
Так вот, как можно было древнегреческими методами установить сей факт? Впрочем, я с радостью приму хоть сколько-нибудь аргументированную информацию о том, что в действительности они этого не знали», - рассуждающе сказал участник под ником "вздымщик Цыпа".
«А там интегрировать не надо уметь. Там дифференцировать надо уметь. Этого они тоже не умели, но пределы правильно считать если и не умели, то прецеденты такого были точно. Ну а все что надо это производная от объема шара по радиусу - такой предел они вполне могли посчитать.
Правда тут другой вопрос возникает, на который я не знаю ответа: Как они объем шара посчитали?», - спросил в ответ участник под ником "ЕТ".
Долгое время греки парились над задачей о квадратуре круга потому, что хотели рассчитать площадь и объём шара, преобразовав его в куб. Они были изобретательными математиками и умели решать несложные по постановке задачи, имеющие практическое значение. Но я не догоняю, почему у них площадь поверхности шара получилась равной 4 площадям большого сечения, а не 6 (по числу граней куба), точнее $6 \pi R^2$, а объём шара $4/3 \pi R^3$, а не $\pi\sqrt{\pi}R^3$ .
Полагаю, «светочам науки» следует продолжить дискуссию по данной теме, чтобы убедить меня и других «неучей» в том, что я не прав. Только не надо дифференциального и интегрального исчисления, прочей математической «премудрости». Решите задачу проще, например, с помощью квадратуры круга.
Не спешите губить тему, у вас это хорошо получается.

[Алексей К.]

(1) Заявленные слова к работе форума отношения не имеют. Вам никто не запрещал продолжать перлить в Дискуссионных темах (есть ещё "Помогите решить-разобраться", "Математика")

(2) Ужели не ясно, что "специалисты", "не способные отличить $x^3+y^3$ от $(x+y)^3$" с квадратурой круга не справятся?

Виктор Ширшов в сообщении #188983 писал(а):

Полагаю, «светочам науки» следует продолжить дискуссию по данной теме, чтобы убедить меня и других «неучей» в том, что я не прав.

(3) Приличные слова пытаюсь подобрать. Не получается.

[Someone]

Виктор Ширшов в сообщении #188983 писал(а):

Полагаю, «светочам науки» следует продолжить дискуссию по данной теме, чтобы убедить меня и других «неучей» в том, что я не прав.

А зачем нам, "светочам науки", это нужно - убеждать Вас, что Вы профан и ничего не понимаете? Кстати, тут есть железная закономерность: чем меньше претендент знает и понимает, тем труднее его в чём-либо убедить. Вас невозможно убедить ни в чём (я говорю о математике).

[мат-ламер]

Я не знаю как там древние греки, но уже Архимед (он жил в Сицилии - будем считать его древним греком) владел началами интегрального исчисления на интуитивном уровне. Площадь поверхности шара он определял как предел площади поверхности вписанных в него многогранников.

[arqady]

мат-ламер писал(а):

Я не знаю как там древние греки, но уже Архимед (он жил в Сицилии - будем считать его древним греком) владел началами интегрального исчисления на интуитивном уровне. Площадь поверхности шара он определял как предел площади поверхности вписанных в него многогранников.

Мне ёщё Борис Петрович Гейдман в школе объяснил, что для определения площади поверхностей это тупик.

[Руст]

arqady писал(а):

мат-ламер писал(а):

Я не знаю как там древние греки, но уже Архимед (он жил в Сицилии - будем считать его древним греком) владел началами интегрального исчисления на интуитивном уровне. Площадь поверхности шара он определял как предел площади поверхности вписанных в него многогранников.

Мне ёщё Борис Петрович Гейдман в школе объяснил, что для определения площади поверхностей это тупик.

Они не брали произвольные вписанные многоугольники, а приближали кусочками боковых поверхностей конусов, тем самым сводя к одномерному интегралу

$$2\pi r^2\int_0^{\pi/2}\cos \phi d\phi =2\pi R^2\lim_{n\to \infty}\frac 1n \sum_{k=1}^n \cos \frac{\pi k}{2n}$$

, где нет таких парадоксов. Последнее легко суммируется (даже не зная формулу Эйлера, что cos есть действительная часть геометрической прогресии) умножением на $\sin \frac{\pi}{4n}$.

[Imperator]

Руст писал(а):

$$2\pi r^2\int_0^{\pi/2}\cos \phi d\phi =2\pi R^2\lim_{n\to \infty}\frac 1n \sum_{k=1}^n \cos \frac{\pi k}{2n}$$

.

Вы уверены, что древние греки понимали эту запись? И тем более знали?

[Руст]

Запись слева появилось больше как синоним выражения справа. То, что справа думаю некоторые греки, типа Архимеда понимали.

[TOTAL]

На форуме вроде бы уже говорили, как площадь поверхности шара сравнением равна площади боковой поверхности кругового цилиндра, диаметр и высота которого равны диаметру шара. Здесь вообще ничего знать не надо, так что гракам под силу.

[Виктор Ширшов]

TOTAL в сообщении #189197 писал(а):

площадь поверхности шара сравнением равна площади боковой поверхности кругового цилиндра, диаметр и высота которого равны диаметру шара. Здесь вообще ничего знать не надо, так что гракам под силу.

Если верить грекам, площадь поверхности шара равна площади поверхности кругового цилиндра, диаметр которого равен диаметру шара, а вот высота его равна только радиусу шара. Проверьте и убедитесь в этом.
Можно было бы поверить грекам, если бы у них площадь поверхности шара получилась равной хотя бы 3,9 или 4,1 площадей большого сечения шара, но ровно 4 для сферы заставляет задуматься.

[gris]

А меня в детстве удивляло то, что длина окружности больше радиуса ровно в два пи раз. Ладно бы в две целых одну десятую, а то ровно в два...
Впрочем, позднее я узнал на военке ещё более удивительный факт, что атомная бомба всегда попадает в эпицентр.

Конечно, это не относится к шару и цилиндру.
Но.
Поверхность шара и поверхность цилиндра пропорциональны $R^2$, что сокращается при делении.
Обе поверхности пропорциональны $\pi$, что тоже сокращается.
Что должно остаться? Только целое число. Ну, в крайнем случае, половинка целого. Целое число в любой системе счисления с натуральным основанием остается целым.
Природа устроена так, что в ней Основные Константы либо целые, либо трансцендентные. Вблизи 1 нет на одной несократимой дроби со знаменателем равным 2 или 3. Поэтому поверхность шара в точности равна поверхности соответствующего цилиндра.

То же самое и про отношение поверхности шара и площади большого круга. Пропорциональность $R^2$ и $\pi$ очевидна. Близость отношения к 4 устанавливается легко. Греки это делали путём равномерной покраски огромных шаров и соответствующих им кругов и последующего сравнения затраченного количества краски (обычно использовали охру).
Ну и какая же несократимая дробь с малым знаменателем располагается недалеко от 4?
Греки достаточно уважали Природу и своих Богов, чтобы не сомневаться, что это отношение может быть только целым числом. А именно 4.

[TOTAL]

gris писал(а):

Поверхность шара и поверхность цилиндра пропорциональны $R^2$, что сокращается при делении.
Обе поверхности пропорциональны $\pi$, что тоже сокращается.

С ростом числа $\pi$ растут обе поверхности.
Из двух шаров с одинаковым радиусом тот имеет большую площадь поверхности, у которого больше число $\pi$

[gris]

А про то, что площадь поверхности шара в четыре раза больше площади большого круга, знали ещё египтяне.
Они почитали шар, как идеальную Пирамиду Скарабея, у которой вершина спрятана внутри. Уж египтяне-то умели находить объём пирамиды и знали, что он равен трети произведения площади основания на высоту. И объём шара, как у любой пирамиды, равен трети произведения радиуса на площадь поверхности.

Только у Пирамиды Хеопса основание спрятано от глаз людей, а вершина видна всем, а у шара, рассматриваемого как пирамида, наоборот основание на виду, а вершина скрыта.
В этом есть великая загадка сфинкса. Которая решается только в четырёх измерениях.
И становится совершенно очевидно, что при любом приближенном значении $\pi$, отношение площадей равно 4. Поэтому египтянам вообще точное значение $\pi$ было совершенно не нужно. Они принимали его за 3 и не парились. Главное, чтобы оно было одинаковым для всех окружностей.

[ewert]

gris в сообщении #189400 писал(а):

Они принимали его за 3 и не парились. Главное, чтобы оно было одинаковым для всех окружностей.

Вообще-то египтяне, насколько я помню, принимали "пи" за 22/7, это -- вроде как простейшее приближение этого числа цепными дробями.

[gris]

ewert, это уже были не настолько древние египтяне. Я же говорю о том периоде, когда пи равнялось трём, а четвёртое измерение ещё не компактифицировалось окончательно и жрецы могли видеть вершину шара.

Кстати, недавно была тема про пи. Я не помню, может и упоминалось, но мне больше всего нравится такое решение для числа пи, которое показывает неслучайность его значения.

Напишем три первых нечётных числа по два раза: 113355.
Разделим пополам: 113 и 355.
И теперь - бац! $\pi\approx\frac{355}{133}\approx3,141593$