функция из $C[0,1]\setminus H^1(0,1)$

[AD]

nckg в сообщении #188731 писал(а):

Хорошо, в том, что мощности равны, я почти не сомневаюсь.

nckg в сообщении #188731 писал(а):

мощности этих базисов равны (в этом я сомневаюсь чуть больше).

Ну я же вроде рассказал идею, как оценить эти мощности и сверху, и снизу через континуум

AD в сообщении #188202 писал(а):

Ну ясно, что не больше континуума (потому что там всего континуум функций), а континуум линейно независимых функций сочинить легко.

[nckg]

В качестве континуума линейно независимых функций, думаю, подойдёт семейство
$f_{a,b}(x)=\max(0, 1-|x-a|/b)$, где $a,b\in \mathbb R$. ($b\neq 0$)
Но откуда следует, что оно войдёт в базис?

(Кроме того, функции из $H^1$ - это всё-таки классы эквивалентности, а не функции, не будет ли тут проблем?)

[ewert]

1). Множество всех функций, непрерывных на отрезке, само по себе имеет мощность континуума.

2). В каждом классе эквивалентности содержится ровно по одной непрерывной функции. Ровно это и означает, что $H^1\subset C.$

[nckg]

c этим я согласен, но остаётся вопрос с базисом...

[ewert]

Ну Вы же сами только что сочинили континуум линейно независимых функций.

[nckg]

В том, что мощности $C[0,1]$ и $H^1(0,1)$ равны, я убедился.

А с базисом мне вот что непонятно: откуда следует, что мощность базиса равна мощности пространства?

[AD]

Любое линейно независимое семейство векторов можно дополнить до базиса. Это еще одна неконструктивная фишка.

[ewert]

AD в сообщении #188915 писал(а):

Это еще одна неконструктивная фишка.

, чем вся эта возня с гамелями глубоко и отвратительна. Вроде бы математика, и даже якобы честная, но ни малейшего отношения к реальности не имеющая.

[AD]

Echo-Off в сообщении #145249 писал(а):

.oO( вот что такое "абсолютно правильный и абсолютно бесполезный ответ", о котором слагают анекдоты с воздушными шарами )

(сказано примерно по такому же поводу)

Добавлено спустя 1 минуту 25 секунд:

(ой, а даже, видимо, совсем по этому)

[ewert]

не знаю, где тут вопрос, а где ответ, одно несомненно: каков вопрос -- таков и ответ.

Вспомните, каким был исходный вопрос: на что (например) отличаются $C$ и $H^1$? Вопрос -- вполне конкретный и практически осмысленный. И, что главное -- никаких гамелей и прочей аксиомовыборщины не требующий.

[AD]

ewert в сообщении #188946 писал(а):

Вопрос -- вполне конкретный и практически осмысленный.

Не уверен. Если в вопросе имелось в виду, что эти пространства рассматриваются как объекты категории линейных пространств, то ответ мы дали, и без аксиомы выбора его, наверное, и не дашь. Если же они уже с готовыми топологиями - то понятно, чем отличаются, да. Или Вы про совсем исходный вопрос? То есть именно как множества функций? Ну его мы и не обсуждаем уже.

[ewert]

да я у давно перестал понимать, что мы тут обсуждаем.

[Dan B-Yallay]

Пространство $H^1$ сепарабельно и базис в нем вроде как должен быть счетным?

[AD]

Dan B-Yallay писал(а):

Пространство $H^1$ сепарабельно и базис в нем вроде как должен быть счетным?

[истерика]Ааааа ...... Каждому персонально объяснить? [/истерика]
Речь всё последнее время идёт об алгебраической размерности.

[Cave]

ewert писал(а):

чем вся эта возня с гамелями глубоко и отвратительна. Вроде бы математика, и даже якобы честная, но ни малейшего отношения к реальности не имеющая.

Неправда, с их помощью доказывается неравносоставленность куба и правильного тетраэдра одного объёма.