аксиомы ZFC и формализация тождества

[Svеznoy]

MaximKat писал(а):

Svеznoy писал(а):

Предъявите мне хоть что-нибудь, для $a_1 = \varnothing_1, a_2=\varnothing_2$, чтобы установить истинно или ложно, что $\neg \exists x \in a_1 = \neg \exists x \in a_2$.

вы сначала предъявите определения $\varnothing_1$ и $\varnothing_2$

$\forall b_1, \forall b_2 \exists a_1, \exists a_2(b_1 \notin a_1\& b_2 \notin a_2 \leftrightarrow a_1 \neq a_2)$

MaximKat писал(а):

Svеznoy писал(а):

1.

$$((\forall b)(b\notin a_1 \& b\notin a_2)) \rightarrow (\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2))$$

Если Вы считаете, что эта формула тождественно истинна для всех $a_1$ и $a_2$, тогда подставьте в нее любые не пустые множества и посмотрите что получится.

ну подставьте и посмотрите

да, тождество формул, но не $a_1,a_2$.
Почему $((\forall b)(b\notin a_1 \& b\notin a_2))$ может быть истинной или ложной в зависимости от $a_1,a_2$, а $((\forall b)(b\in a_1 \& b\in a_2))$ не может ?

MaximKat писал(а):

Svеznoy в сообщении #188081 писал(а):

Таблица истинности конъюнкции такая же как как у равенства.

неужели?

Да, перемудрил, признаю.

[Xaositect]

Svеznoy в сообщении #188649 писал(а):

Укажите мне те $b$, которые принадлежат и тому и другому, да незабудьте доказать их существование.

Для доказательтва равенства по аксиоме объемности нужно доказать универсальное утверждение ($\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2)$), то есть предьявлять элементы не нужно.
Для доказательства же неравенства нужно доказать существование элемента, различающего множества.

[Svеznoy]

Xaositect писал(а):

Svеznoy в сообщении #188649 писал(а):

Укажите мне те $b$, которые принадлежат и тому и другому, да незабудьте доказать их существование.

Для доказательтва равенства по аксиоме объемности нужно доказать универсальное утверждение ($\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2)$), то есть предьявлять элементы не нужно.
Для доказательства же неравенства нужно доказать существование элемента, различающего множества.

Я это понимаю, априорно исходят из равенства множеств, их сравнимости, основанной на априорном тождестве пустых множеств. Если исходить из априорного неравенства, доказывать нужно равенство, что сомнительно для $\forall b (b \in a_1\&b\in a_2)$.

[Xaositect]

Svеznoy в сообщении #188670 писал(а):

Я это понимаю, априорно исходят из равенства множеств, их сравнимости, основанной на априорном тождестве пустых множеств. Если исходить из априорного неравенства, доказывать нужно равенство

Критерием равенства множеств является аксиома объемности, которая ни на каких априорных тождествах не основана.

Цитата:

$\forall b (b \in a_1\&b\in a_2)$.

Таких множеств вообще нет.

[Svеznoy]

Xaositect писал(а):

Svеznoy в сообщении #188670 писал(а):

Я это понимаю, априорно исходят из равенства множеств, их сравнимости, основанной на априорном тождестве пустых множеств. Если исходить из априорного неравенства, доказывать нужно равенство

Критерием равенства множеств является аксиома объемности, которая ни на каких априорных тождествах не основана.

Цитата:

$\forall b (b \in a_1\&b\in a_2)$.

Таких множеств вообще нет.

Вот и я о том, конъюнкция противоречий стоит в аксиоме объемности.

[Xaositect]

Svеznoy в сообщении #188677 писал(а):

Вот и я о том, конъюнкция противоречий стоит в аксиоме объемности.

$\forall b (b \in a_1\&b\in a_2)$ - не аксиома объемности
Аксиома объемности - $\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2) \rightarrow a_1 = a_2$

[MaximKat]

Svеznoy писал(а):

$\forall b_1, \forall b_2 \exists a_1, \exists a_2(b_1 \notin a_1\& b_2 \notin a_2 \leftrightarrow a_1 \neq a_2)$

это не определение
пример: $\varnothing$ - это такое множество, которое удовлетворяет свойству $\forall b(b\notin\varnothing)$
сформулируйте ваше определение в том же стиле

[Svеznoy]

MaximKat писал(а):

Svеznoy писал(а):

$\forall b_1, \forall b_2 \exists a_1, \exists a_2(b_1 \notin a_1\& b_2 \notin a_2 \leftrightarrow a_1 \neq a_2)$

это не определение
пример: $\varnothing$ - это такое множество, которое удовлетворяет свойству $\forall b(b\notin\varnothing)$
сформулируйте ваше определение в том же стиле

$\}a_1\{$ это множество, которое удовлетворяет условию $\forall b(b \in \varnothing_1)$
$\}a_2\{$ это множество, которое удовлетворяет условию $\forall b(b \in \varnothing_2)$
$\}a_1\{ \neq \}a_2\{$

Добавлено спустя 2 минуты 51 секунду:

Xaositect писал(а):

Svеznoy в сообщении #188677 писал(а):

Вот и я о том, конъюнкция противоречий стоит в аксиоме объемности.

$\forall b (b \in a_1\&b\in a_2)$ - не аксиома объемности
Аксиома объемности - $\forall b (b\in a_1 \equiv b\in a_2) \rightarrow a_1 = a_2$

Я имел в виду, что непонятно что эквивалентно, Вы же сказали, что такие множества не существуют. Противоречия что-ли эквиваленты ?

[Xaositect]

Svеznoy в сообщении #188682 писал(а):

Вы же сказали, что такие множества не существуют.

Я имел в виду $\forall b (b \in a_1\&b\in a_2)$

Добавлено спустя 1 минуту 24 секунды:

Xaositect в сообщении #188686 писал(а):

Я имел в виду, что непонятно что эквивалентно

Где эквивалентно?

[Svеznoy]

Ну, тогда из конъюнкции противоречий следует их эквивалентность, соответсвенно тождество, входящих в них $a_1,a_2$.
Эквивалентность в аксиоме объемности.

[MaximKat]

Svеznoy писал(а):

$\}a_1\{$ это множество, которое удовлетворяет условию $\forall b(b \in \varnothing_1)$
$\}a_2\{$ это множество, которое удовлетворяет условию $\forall b(b \in \varnothing_2)$
$\}a_1\{ \neq \}a_2\{$

причем тут $a_1, a_2$?
дайте определения $\varnothing_1, \varnothing_2$

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

и что означают фигурные скобки враскорячку тоже неясно

[Svеznoy]

MaximKat писал(а):

Svеznoy писал(а):

$\}a_1\{$ это множество, которое удовлетворяет условию $\forall b(b \in \varnothing_1)$
$\}a_2\{$ это множество, которое удовлетворяет условию $\forall b(b \in \varnothing_2)$
$\}a_1\{ \neq \}a_2\{$

причем тут $a_1, a_2$?
дайте определения $\varnothing_1, \varnothing_2$

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

и что означают фигурные скобки враскорячку тоже неясно

Считайте, что $a_1$ это $\varnothing_2$, а $a_2$ это $\varnothing_3$.
Фигурные скобки это на тот случай, если Вы вдруг решите заключить символы в скобки и сравнив полученные множества с пустыми скобками решите, что они не пусты.

[MaximKat]

т.е. $\varnothing_1, \varnothing_2$ содержат все возможные элементы? странное определение для пустого множества

[Someone]

Svеznoy в сообщении #188635 писал(а):

Someone писал(а):

Укажите элемент, принадлежащий одному пустому множеству и не принадлежащий другому.

$\forall b (P(b)=a_1 \to (b\in a_1 \land b\notin a_2)$.

И где элемент?

Svеznoy в сообщении #188649 писал(а):

Someone просил меня указать те $b$, которые принадлежат $\varnothing_1$, но не принадлежат $\varnothing_2$.

Да, просил. И до сих пор жду.

Svеznoy в сообщении #188649 писал(а):

Укажите мне те $b$, которые принадлежат и тому и другому, да незабудьте доказать их существование.

Это Ваша проблема. Вы заявили, что два пустых множества не равны. Отрицанием равенства $\forall b(b\in\varnothing_1\leftrightarrow b\in\varnothing_2)$ является утверждение $\exists b((b\in\varnothing_1\&\neg b\in\varnothing_2)\vee(b\in\varnothing_2\&\neg b\in\varnothing_1))$. Предъявляйте $b$.

Svеznoy в сообщении #188327 писал(а):

Пустые множества одинаковы в том, что ни одно из них не содержат элементов. Они отличаются тем, что содержат разные подмножества.

Про подмножества в определении равенства множеств ничего не сказано, поэтому Вы говорите глупость.

[Svеznoy]

Someone писал(а):

Svеznoy в сообщении #188635 писал(а):

Someone писал(а):

Укажите элемент, принадлежащий одному пустому множеству и не принадлежащий другому.

$\forall b (P(b)=a_1 \to (b\in a_1 \land b\notin a_2)$.

И где элемент?.

Выбирайте любое b, которое удовлетворяет условиям, можете обозначить его $\pi$

Someone писал(а):

Svеznoy в сообщении #188649 писал(а):

Someone просил меня указать те $b$, которые принадлежат $\varnothing_1$, но не принадлежат $\varnothing_2$.

Svеznoy в сообщении #188649 писал(а):

Укажите мне те $b$, которые принадлежат и тому и другому, да незабудьте доказать их существование.

Да, просил. И до сих пор жду.

Вы хотите явную запись что-ли ? Число $\pi$, как элемент множества $R$ в виде последовательности фигурных скобок с символом пустого множества в основании.

Someone писал(а):

Svеznoy в сообщении #188649 писал(а):

Укажите мне те $b$, которые принадлежат и тому и другому, да незабудьте доказать их существование.

Это Ваша проблема. Вы заявили, что два пустых множества не равны. Отрицанием равенства $\forall b(b\in\varnothing_1\leftrightarrow b\in\varnothing_2)$ является утверждение $\exists b((b\in\varnothing_1\&\neg b\in\varnothing_2)\vee(b\in\varnothing_2\&\neg b\in\varnothing_1))$. Предъявляйте $b$.

$\varnothing_1$ это множество, которое удовлетворяет условию:
$\forall b(b \in \varnothing_2)$
Можно так: $\forall b \forall c(P(b)=\varnothing_2 \to c \in b)$
$\varnothing_2$ это множество, которое удовлетворяет условию:
$\forall b(b \in \varnothing_3)$

$\varnothing_3$ определим, как:
$\forall b(b \in \varnothing_1 \& b \notin \varnothing_2\}$
а $\varnothing_4$, как:
$\forall b(b \notin \varnothing_1 \& b \in \varnothing_2\}$

Примем, что:
$\forall b(b \in \varnothing_3 \to \neg b \in \varnothing_4) \land (b \notin \varnothing_3 \to b \in\varnothing_4) \lor (b \in \varnothing_4 \to \neg b \notin \varnothing_3) \land (b \notin \varnothing_4 \to b \in \varnothing_3) $

Определим $\varnothing_5$, как:
$\forall b(b \in \varnothing_3 \& b \in \varnothing_4\}$

Частный случай, для любого $b$:
$\exists b((b\in\varnothing_1\&\neg b\in\varnothing_2)\vee(b\in\varnothing_2\&\neg b\in\varnothing_1))$
$b \in \varnothing_5$.

Someone писал(а):

Svеznoy в сообщении #188327 писал(а):

Пустые множества одинаковы в том, что ни одно из них не содержат элементов. Они отличаются тем, что содержат разные подмножества.

Про подмножества в определении равенства множеств ничего не сказано, поэтому Вы говорите глупость.

Не менее глупо выводить из конъюнкции противоречий их эквивалентность и равенство входящих в них $a_1,a_2$, а также доказывать равенство пустых множеств из той же эквивалентности противоречий:
$\forall b(b \in a_1 & b\in a_2) \to \forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b\in a_2) \to a_1=a_2$