2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 33  След.
 
 
Сообщение21.02.2009, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
maxal в сообщении #188333 писал(а):
Но доказательства того, что это единственная возможность добиться требуемого, нет.

Я бы убрала из этого утверждения слово 'единственная'.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 20:50 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Уважаемая shwedka!
Как правило, много писать против моих правил, но все же утружу себя.
$1$. Докажем, что частное от деления неполных сумм квадратов - также неполная сумма квадратов:
$$\frac{a^2-ab+b^2}{c^2-cd+d^2}=p^2-pq+q^2$$
Действительно, умножим числитель и знаменатель дроби в левой части на $c^2-cd+d^2$:
$$\frac{a^2-ab+b^2}{c^2-cd+d^2}\cdot\frac{c^2-cd+d^2}{c^2-cd+d^2}=p^2-pq+q^2$$
2. По формулам, приведенным Petern1 на стр.1 произведение двух неполных сумм квадратов есть также неполная сумма квадратов:
$$\frac{a^2-ab+b^2}{c^2-cd+d^2}\cdot\frac{c^2-cd+d^2}{c^2-cd+d^2}=\frac{(ac+bd-ad)^2-(ac+bd-ad)(bc-ad)+(bc-ad)^2}{(c^2-cd+d^2)^2}$$
3. Таким образом, стоящее в правой части выражение есть сумма трех слагаемых :
$$\frac{(ac+bd-ad)^2-(ac+bd-ad)(bc-ad)+(bc-ad)^2}{(c^2-cd+d^2)^2}=\left(\frac{ac+bd-ad}{c^2-cd+d^2}\right)^2+\left(\frac{ac+bd-ad}{c^2-cd+d^2}\right)\cdot\left(\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2}\right)^2$$
Не стану утруждать себя доказательством целостности чисел в скобках, но из их целостности следует и само утверждение $1$.
$2$. Если неполная сумма квадратов делится на какое-то число то данное число является также неполной суммой квадратов.
Действительно, рассмотрим какой-то множитель $m$ неполной суммы квадратов. Пусть
$$a^2-ab+b^2\div m$$.
Тогда можно представить $a=k_1m+p$, $b=k_2m+q$, где $|p|,|q|<\frac m2$. Тогда подставляя данные значения получим:
$$a^2-ab+b^2=(k_1m+p)^2-(k_1m+p)(k_2m+q)+(k_2m+q)^2\div m$$
Откуда:
$p^2-pq+q^2\div m$.
2. Т.к. каждое из чисел $|p|,|q|<\frac m2$, то $p^2-pq+q^2<\left(\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}\right)<\frac{3m^2}{4}$. С другой стороны $p^2-pq+q^2=m\cdot k$, где $k$ - некоторое число. Но тогда т.к. $p^2-pq+q^2<\frac{3m^2}{4}$, то $k<\frac {3m}{4}$
3. Таким образом, существует множитель меньший $m$, который также если не представим неполной суммой квадратов, то также можно представить$p=k_3k+u$ и $q=k_4k+v$, что $u^2-uv+v^2\div k$. И т.д. Но т.к. бесконечно убывающей последовательности множителей не существует, то $m$ - неполная сумма квадратов.
Таким образом, всякий множитель неполной суммы квадратов есть неполная сумма квадратов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Мат в сообщении #188374 писал(а):
$$\frac{(ac+bd-ad)^2-(ac+bd-ad)(bc-ad)+(bc-ad)^2}{(c^2-cd+d^2)^2}=\left(\frac{ac+bd-ad}{c^2-cd+d^2}\right)^2+\left(\frac{ac+bd-ad}{c^2-cd+d^2}\right)\cdot\left(\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2}\right)^2$$
Не стану утруждать себя доказательством целостности чисел в скобках, но из их целостности следует и само утверждение 1.

Пусть a = 1, b = 2, c = 3, d = 4
Тогда второе число в скобках
$\frac{bc-ad}{c^2-cd+d^2} = \frac{2\cdot 3 - 1\cdot 4}{3^2-3\cdot 4+4^2} = \frac {2} {13} \notin\mathbb{Z}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Xaositect
По условию $(a^2-ab+b^2)\div (c^2-cd+d^2)$, а в вашем случае этого не наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Мат в сообщении #188374 писал(а):
Тогда можно представить $a=k_1m+p$, $b=k_2m+q$, где $p,q<\frac m2$.

Вы наверное хотели сказать $|p|, |q|\leq\frac m2.$ Иначе утверждение становится неверно.
Мат в сообщении #188374 писал(а):
2. Т.к. каждое из чисел $p,q<\frac m2$, то $p^2-pq+q^2<\left(\frac{m^2}{4}-\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}\right)<\frac{m^2}{4}$.

Не получается. Если одно из $p,q$ положительное, а другое отрицательное, то
$$p^2-pq+q^2\leq\left(\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}+\frac{m^2}{4}\right)=\frac{3m^2}{4}.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
maxal в сообщении #188389 писал(а):
Не стану утруждать себя доказательством целостности чисел в скобках,

А зря. Если этого не доказать, то все рассуждение идет коту под хвост.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:40 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
И вообще, $8^2 - 4\cdot 8 + 4^2=48$ делится на $6$ и на $8$, но ни тот, ни другой делитель не представим в виде $a^2 - ab + b^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Мат в сообщении #188374 писал(а):
$$\frac{a^2-ab+b^2}{m}=c^2-cd+d^2$$

То есть Вы предположили, что частное - неполная сумма. А по какому праву?? вы где-то это доказали?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
maxal
Да действительно, доказательство взято из книжки о суммах квадратов и немного мной модернизировано для неполных сумм квадратов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Мат писал(а):
maxal
Да действительно, доказательство взято из книжки о суммах квадратов и немного мной модернизировано для неполных сумм квадратов.

Но от этого перестало быть доказательством.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 21:49 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
shwedka писал(а):
Мат в сообщении #188374 писал(а):
$$\frac{a^2-ab+b^2}{m}=c^2-cd+d^2$$

То есть Вы предположили, что частное - неполная сумма. А по какому праву?? вы где-то это доказали?

Извиняюсь, это моя неточность, в доказательстве это так ни разу и не понадобилось. Правильно надо $a^2-ab+b^2\div m$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Мат писал(а):
Xaositect
По условию $(a^2-ab+b^2)\div (c^2-cd+d^2)$, а в вашем случае этого не наблюдается.

a = 1, b = 3, c = 2, d = 3
$\frac{bc - ad} {c^2-cd+d^2} = \frac {3\cdot 2 - 1\cdot 3} {2^2 - 2\cdot 3 + 3^2} = \frac {3} {7}$
$(a^2-ab+b^2)\div (c^2-cd+d^2) = (1^2 - 1\cdot 3 + 3^2) \div {2^2 - 2\cdot 3 + 3^2} = 7\div 7 = 1$

Добавлено спустя 5 минут 5 секунд:
так, тут я напутал.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 22:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Xaositect
$bd-ac=3\cdot 3-1\cdot 2\div 7$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
ИМХО, прежде чем доказывать что-то нетривиальное на целых числах, надо это проверить на числах хотя бы до 10.

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

Мат писал(а):
Xaositect
$bd-ac=3\cdot 3-1\cdot 2\div 7$

У вас в формуле $bc - ad$
Если вы рассматриваете случаи, напишите, какие случаи рассматриваете.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2009, 22:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


16/12/08

467
Краснодар
Xaositect писал(а):
ИМХО, прежде чем доказывать что-то нетривиальное на целых числах, надо это проверить на числах хотя бы до 10.

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

Мат писал(а):
Xaositect
$bd-ac=3\cdot 3-1\cdot 2\div 7$

У вас в формуле $bc - ad$
Если вы рассматриваете случаи, напишите, какие случаи рассматриваете.

Да есть еще два случая, см. формулы Petern на стр.1. Я не претендовал на выщелоченное в деталях доказательство, хотел показать лишь в общих красках ход рассуждений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 489 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 33  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group