Метрический тензор и черная дыра

[Melevir]

Всех приветствую и прошу помощи.
Сначала сформулирую задание, потом вопросы, ответы на которые я надеюсь от вас получить
Задание:
В окрестности ЧД задана метрика
$ ds^2 = \frac {\rho - 1} {\rho}dt^2-\frac {\rho} {\rho - 1}d\rho^2 - \rho^2(d\psi^2 + \cos^2 \psi d\varphi^2)$.
Требуется составить уравнение пространственно-временной траектории (геодезической с ds^2 > 0), лежащей в плоскости {\psi = 0}. Ну и там далее задания, не важны для моих вопросов..
Теперь вопросы.
1) Сначала совсем дурацкий. Метрика задает расстояние между двумя точками. Но тут метрический тензор - он задает расстояние между данной точкой и бесконечно близкой к ней. То есть мы фиксируем координаты \rho , \psi , \varphi , t, получаем точку. Пользуясь данной зависимостью получаем расстояние между этой точкой бесконечно близкой к ней. А как тогда посчитать расстояние между двумя произвольными точками?
2) Эта самая метрика - характеристика среды. А от меня требуют уравнение некоей траектории. Траектории чего?

Извиняюсь, если нарушил какие-то из тутошних гласных ил негласных правил (хотя вроде не должен:)). Рассчитываю на помощь и дискуссию. Первый курсовик, знаете ли, хотелось бы разобраться..

[Gafield]

Чтобы найти расстояние между двумя точками, надо минимизировать функционал длины по траекториям, их соединяющим. Этот процесс и дает уравнения геодезической. Они имеют второй порядок, их вид можно найти в книгах по дифференциальной геометрии. Например, для евклидовой метрики это будет $\ddot x=0$. Кратчайшие пути - отрезки.

[Yu_K]

http://dxdy.ru/topic19762.html - пример здесь для эллипсоида, у вас нужно искать траекторию на координатной плоскости.

[Melevir]

Yu_K, в том то и дело, в указанной вами задаче имеются точки и поверхность, а у меня - только закон по которому нужно считать расстояние. А между чем? И какое? Кратчайшее? Ведь метрический тензор (он же - первая квадратичная форма, если я не путаю) не задает однозначно поверхности..

[Yu_K]

На плоскости через заданную точку проходит бесконечно много прямых (геодезических) - так и здесь, наверное, много траекторий свободного движения точки по пов-ти $\psi=0$. Задача будет не краевая, а будет задача Коши - будут какие-то управляющие параметры для семейства траекторий. На плоскости у каждой геодезической, проходящей через заданную точку свой наклон. Посмотрите Арнольда В.И. Матметоды классической механики и наверное Вам рекомендоваои какую-то литературу.

[Melevir]

Yu_K, дело в том, что я пока не знаю что искать в книгах. В литературе речь идет о поверхностях, кривых, но нет объекта, который бы задавался метрическим тензором.
Думаю следующее: моя поверхность - это плоскость {\psi = 0}, и на ней задана метрика. Нужно найти геодезическую линию.. Но ведь любая прямая на плоскости является геодезической. Где я не прав?

[Утундрий]

Берете том II теоретической физики Ландау и Лифшица, который называется "Теория поля". Находите там главу X. Выписываете на бумажку оттуда формулы 86.3, 87.3.Далее быстро-быстро листаете до главы XII, выписываете формулу 100.2. Учтите, что тамошний угол $\[\theta = \frac{\pi }{2} - \psi \]$. Далее по формулам 100.3 находите все "гаммы". Учтите при этом, что $\[e^\nu = e^{ - \mu } = 1 - \frac{1}{\rho }\]$. Подставляете всю эту музыку в уравнение геодезической 87.3 и получаете нужную Вам систему уравнений.

[Melevir]

Утундрий, спасибо большое. Дело в том, что мне рекомендовали исключительно математическую литературу (сама курсовая по курсу дифференциальной геометрии), заглянуть в учебник по физике мне ума не хватила. Пойду разбираться, ждите еще вопросов:). Еще раз спасибо.

[Утундрий]

На здоровье. Кстати, там же, в ЛЛ, есть полное решение задачи, но увы, не тем методом, который с Вас будут требовать преподаватели )

[Руст]

Gafield писал(а):

Чтобы найти расстояние между двумя точками, надо минимизировать функционал длины по траекториям, их соединяющим. Этот процесс и дает уравнения геодезической. Они имеют второй порядок, их вид можно найти в книгах по дифференциальной геометрии. Например, для евклидовой метрики это будет $\ddot x=0$. Кратчайшие пути - отрезки.

На самом деле здесь (в псевдоэвклидовой геометрии) траекториями пробной частицы являются линиии где достигается максимум $ds$ а не минимум как в эвклидовой.

[Melevir]

Утрундий, в том же томе? Спасибо, спасибо..
А откуда вы знаете, что от меня будут требовать преподаватели если не секрет?:)

[Melevir]

Руст, в упомянутой книге "Теория поля" сказано, что движение частицы в СТО определяется принципом наименьшего взаимодействия, то есть как разds = 0. Почему Вы считаете, что это не так? Я не понимаю..

[Руст]

Наименьшее будет, если частица будет двигаться световой скоростью любыми путями $ds=0$. Когда движется равномерно прямолинейно достигается максимум.

[Melevir]

Руст, спасибо за объяснение, запомнил.
Утрундий, получается для того что бы найти траекторию мне надо просто посчитать символы Кристофеля? Тогда уравнение геодезической с выраженными символами - ответ?

[мат-ламер]

Уважаемый Melevir! У Вас специализация - дифференциальная геометрия? Какие книги Вам рекоменовали? Есть учебник Дубровина, Новикова, Фоменко - Современная геометрия. Там есть и приложения к ОТО (Глава 6, параграф 39).