аксиоматика Колмогорова

[g-a-m-m-a]

Интересует вопрос: зачем была введена аксиоматика Колмогорова? И что принципиально нового она внесла в теорию вероятности кроме перехода от конечного числа событий к бесконечному?

[Gortaur]

Систематизировала дискретную и непрерынвую ТВ.
Насколько я знаю, до него ТВ строгого описания не имела. К сожалению, она увела ТВ от реализма - ИМХО.

[мат-ламер]

Слышал такую байку, что вроде акиоматику Колмогорова не он придумал, а услышал ёё в устной форме он от какого-то немецкого математика. Но тот математик, в отличии от Колмогорова не был силён ни в теории меры, ни в булевых алгебрах и не мог аккуратно сформулировать свои мысли. Вообщем выросла эта аксиоматика не на голом месте.

[epros]

мат-ламер писал(а):

Слышал такую байку, что вроде акиоматику Колмогорова не он придумал, а услышал ёё в устной форме он от какого-то немецкого математика. Но тот математик, в отличии от Колмогорова не был силён ни в теории меры, ни в булевых алгебрах и не мог аккуратно сформулировать свои мысли. Вообщем выросла эта аксиоматика не на голом месте.

Может быть это был Мизес? См. здесь или здесь.

Вообще-то аксиоматика Колмогорова - это хороший пример того, как "интуитивному" понятию был придан строгий математический смысл.

[g-a-m-m-a]

что-то все это как-то не убедительно и смутно, товарищи

[Gortaur]

аксиоматизируйте Ваш вопрос, пожалуйста

[мат-ламер]

Мне кажется, что аксиоматика Колмогорова возникла ни вдруг, как случайная находка гения, а в то время созрела в ней потребность. Работам по случайным процессам не хватало строгости, и асиоматика Колмогорова позволила использовать строгие понятия о сходимости - сходимость по мере, сходимости почти всюду и т.д., накопленные в то время в ТФДП и в функциональном анализе.

[Юстас]

То, что Колмогоров доказал УЗБЧ и есть подтверждение соответствия его аксиоматики интуитивному восприятию вероятности. В конечном счете, это просто интересная наука, а уж верить ей на практике или нет - дело каждого. Но многие верят

[Архипов]

Юстас в сообщении #185688 писал(а):

В конечном счете, это просто интересная наука, а уж верить ей на практике или нет - дело каждого. Но многие верят

Не совсем понятно о предмете веры. Если с аксиомами и теоремами этой теории согласны, то какие сомнения могут быть? Или имелась в виду практика принятия решений конкретными людьми?
Для людей, обременненных ответственностью, эта наука очень полезна. Самому главному начальнику приходится гадать, зато всем остальным подчиненным по рангу задается некоторый предел риска. Не выходишь за этот предел - служишь долго, а выходишь - либо грудь в крестах, либо голова в кустах.

[Парджеттер]

А была, кажется, еще аксиоматика Бернштейна и даже вроде она была непротиворечива. Если я ничего не путаю, конечно.

[Gortaur]

Повторюсь, видел уже на форуме, что законы больших чисел говорят о сходимости по вероятности, т.е. связи с реальностью мало.

[ewert]

В реальности известно лишь одно -- что очень часто для количества "опытов" $n$ и количества "успехов" $m$ на практике наблюдается существование некоторого предела $\lim{m\over n}$ при $n\to\infty$, который и называется вероятностью $p$. А раз наблюдается, то должен быть формализован. А поскольку при таком понимании вероятности должны складываться, и вероятность достоверного события должна быть равна единице -- эти два факта и принимаются в качестве аксиом. Всё остальное, связанное с сигма-алгебровостью, нужно уже лишь для обеспечения корректности теории.

Между прочим, это как раз пример, в котором разумная теория не может, по-видимому, быть никакой другой, кроме как аксиоматической. Поскольку понятию $\lim\limits_{n\to\infty}{m\over n}$ в принципе невозможно придать формально точный математический смысл. Т.е. в принципе невозможно определить вероятность конструктивно -- поскольку результаты опытов по определению считаются невоспроизводимыми.

[epros]

ewert писал(а):

на практике наблюдается существование некоторого предела $\lim{m\over n}$ при $n\to\infty$,

Пределы невозможно "наблюдать на практике". На практике мы наблюдаем конечные количества испытаний, отношение $m\over n$ для которых в некоторых случаях произвольно полагаем "примерно сохраняющимся" и для всех воображаемых будущих испытаний.

ewert писал(а):

Т.е. в принципе невозможно определить вероятность конструктивно -- поскольку результаты опытов по определению считаются невоспроизводимыми.

Аксиоматика Колмогорова - и есть пример конструктивного определения вероятности (конечно, если рассматривать её только на конструктивно определённых объектах). Понимание частоты как "конструктивного" варианта определения вероятности - абсолютно неправомерно.

[mserg]

В начале 20-го века Гильберт предложил аксиоматически построить всю математику. С практической точки зрения это открывает возможность механизировать (автоматизировать) решение "произвольных задач", описанных на языке математических обозначений. Именно в этом и состоит важность формальных аксиоматических систем. Есть некоторые казусы с формальными системами, но они не являются существенным препятствием для их практического использования.
Если бы Вы занимались разработкой систем решения задач общего вида, то вопросов о пользе "аксиом" Колмогорова не было. Это, скорее, вызвало бы восторг и восхищение, т.к. "аксиомы" дают "алгебраическое" определение вероятности. Т.е. для формулирования практических задач теперь можно использовать "значки" вероятности, а для решения может использоваться алгебраический аппарат.

[Taras]

2 Gortaur

Цитата:

Повторюсь, видел уже на форуме, что законы больших чисел говорят о сходимости по
вероятности, т.е. связи с реальностью мало.

Я бы не делал таких выводов. Вы, наверное, не понимаете суть этих теорем. Именно эти теоремы, а именно - теоремы Бернулли и Бореля(для УЗБЧ) и подтверждают то, что введенная математическая конструкция Колмогорова отвечает нашему представлению о вероятности, как об относительно частоте появление события.