аксиоматика Колмогорова

[ewert]

epros в сообщении #185805 писал(а):

Аксиоматика Колмогорова - и есть пример конструктивного определения вероятности

Аксиоматический подход -- по определению неконструктивен. Что, разумеется, не означает, что он неразумен, пусть даже конструктивисты с этим и не согласны.

epros в сообщении #185805 писал(а):

для которых в некоторых случаях произвольно полагаем "примерно сохраняющимся"

Всё -- с ног на голову. Не "произвольно полагаем", а наблюдаем на практике, на основании которой (практики) и выдвигаем соотв. аксиомы. А уж оправдается ли сочинённая таким способом система аксиом -- это, опять же, вопрос практики, не более и не менее.

[AD]

В принципе, в книжке Ширяева идейная сторона этого вопроса более-менее ясно изложена (II том, там в конце про историю глава есть).

[epros]

ewert писал(а):

Аксиоматический подход -- по определению неконструктивен

Я не согласен. Конструктивный анализ ничего не имеет против построения теорий на основе аксиоматики. Можно в аксиоматику теории даже закон исключённого третьего закладывать (если заведомо известно, что в рамках предметной области данной теории мы будем иметь дело только с конечными совокупностями объектов).

ewert писал(а):

epros в сообщении #185805 писал(а):

для которых в некоторых случаях произвольно полагаем "примерно сохраняющимся"

Всё -- с ног на голову. Не "произвольно полагаем", а наблюдаем на практике, на основании которой (практики) и выдвигаем соотв. аксиомы. А уж оправдается ли сочинённая таким способом система аксиом -- это, опять же, вопрос практики, не более и не менее.

Нет, неправильно. На практике Вы можете выполнить хоть миллион бросков монеты, и в результате получите частоту выпадения орла =1/2 с точностью до 0.1%. Означает ли это, что в последующем триллионе бросков у Вас в принципе не могут выпадать одни орлы?

Аксиомы Колмогорова к этой "практике" никакого отношения не имеют. Они просто вводят по определению понятие вероятности как обладающей соответствующими свойствами меры над пространством событий.

А то, что частота исходов в серии независимых испытаний сходится к вероятности, - это теорема, которая работает на практике только при соблюдении соответствующих условий. И Вы никогда не сможете заранее утверждать, что в конкретной практической ситуации эти условия соблюдаются - это только предположение на Ваш собственный страх и риск.

[ewert]

epros в сообщении #186039 писал(а):

А то, что частота исходов в серии независимых испытаний сходится к вероятности, - это теорема, которая работает на практике только при соблюдении соответствующих условий. И Вы никогда не сможете заранее утверждать, что в конкретной практической ситуации эти условия соблюдаются - это только предположение на Ваш собственный страх и риск.

При каких таких "условиях"? При условиях независимости и "одинаковости" постановки опыта. А как эти условия проверить? А никак. Единственное, что можно -- это просчитать соответствующие вероятности, исходя из аксиом, и проверить, согласуются ли результаты расчётов с наблюдаемыми на практике.

Но ведь это -- общее свойство любых математических моделей. Любая модель заведомо приближённа. И адекватна она (и сама модель, и та аксиоматика, на которой она основана) -- ровно настолько, насколько результаты расчётов согласуются с практикой. Скажем, в колебательном контуре период колебаний не зависит от амплитуды. Или зависит? -- клепай схему, измеряй периоды и сравнивай. Не зависит -- хорошо, зависит -- что ж, значит предположение о линейности элементов оказалось неверным.

Вероятностная аксиоматика уникальна только в том отношении, что в принципе не пожет быть проверена непосредственно, поскольку "статистическое" определение вероятности с формальной точки зрения не имеет математического смысла. В отличие, например, от геометрии, где сумму углов треугольника можно (пусть в принципе) надеяться измерить сколь угодно точно.

[epros]

ewert писал(а):

При каких таких "условиях"? При условиях независимости и "одинаковости" постановки опыта. А как эти условия проверить? А никак. Единственное, что можно -- это просчитать соответствующие вероятности, исходя из аксиом, и проверить, согласуются ли результаты расчётов с наблюдаемыми на практике.

Я не увидел тут возражения.

Да, условия именно те: независимость результатов испытаний друг от друга и от номера испытания. И ещё, чтобы что-то "посчитать" Вам нужны будут какие-то предположения о том, какие вообще могут быть значения у вероятности, например: "любые значения вероятности от 0 до 1 равно допустимы". Все эти допущения - это и есть "аксиомы" (дополнительные к Колмогоровским), добавляемые для конкретной прикладной задачи. Вы их никак независимым образом не "проверите".

Например, в приведённом выше примере с миллионом бросков монеты, Вы можете положиться на эти допущения и в результате убедитесь, что они прекрасно "подтвердились на практике". Однако если Вы побьётесь об заклад на всё, что Вам дорого, что в следующем триллионе бросков по крайней мере десяток раз выпадет решка, то может оказаться так, что вся предыдущая серия из миллиона бросков была кем-то специально для Вас "подстроена" именно с целью заставить Вас заключить это пари. Так что будьте осторожны со своими предположениями.

ewert писал(а):

Но ведь это -- общее свойство любых математических моделей. Любая модель заведомо приближённа. И адекватна она (и сама модель, и та аксиоматика, на которой она основана) -- ровно настолько, насколько результаты расчётов согласуются с практикой. Скажем, в колебательном контуре период колебаний не зависит от амплитуды. Или зависит? -- клепай схему, измеряй периоды и сравнивай. Не зависит -- хорошо, зависит -- что ж, значит предположение о линейности элементов оказалось неверным.

Я, вроде бы, и не утверждал, что вероятности чем-то особенным отличаются от прочих математических моделей. Я просто подчёркиваю, что Колмогоров отвечает только за непротиворечивое определение меры, а за все прочие предположения (о независимости, стационарности и т.п.) придётся отвечать Вам. Причём эти дополнительные предположения для конкретной задачи Вы ни из какой "практики" не извлечёте.

ewert писал(а):

Вероятностная аксиоматика уникальна только в том отношении, что в принципе не пожет быть проверена непосредственно, поскольку "статистическое" определение вероятности с формальной точки зрения не имеет математического смысла. В отличие, например, от геометрии, где сумму углов треугольника можно (пусть в принципе) надеяться измерить сколь угодно точно.

Да нет, в этом тоже не уникальна. С верификацией той же суммы углов треугольника тоже не всё так просто: Это зависит от некоторых дополнительных условий измерения, которые должны быть сформулированы. Например, я доказывал некоему человеку, что сумма углов сферического треугольника может быть больше, чем 180 градусов. А он мне в ответ:
- "Да у Вас просто треугольники кривые".
Я ему:
- "Хорошо, а что считать прямым на сфере? Давайте натянем на ней нитку и будем считать эту линию прямой. Т.е. прямая - это линия кратчайшего расстояния".
Он мне:
- "Нет, так не годится. Вы расстояния на сфере неправильно измеряете, поэтому линию кратчайшего расстояния неправильно находите".
- "Ладно, а что считать правильным расстоянием на сфере? Я обычно прикладываю линейку к сфере и по ней измеряю расстояние".
- "Нет, так не годится. Это Вы измеряете расстояния в нашем пространстве. А расстояния по сфере нужно определить по-другому: именно таким образом, чтобы сумма углов всех треугольников была равна 180 градусам".

Вот так. Пока исчерпывающим образом не сформулируете все условия задачи измерения, даже сумму углов треугольника измерить однозначно не сможете.

[ewert]

epros в сообщении #186064 писал(а):

Все эти допущения - это и есть "аксиомы" (дополнительные к Колмогоровским), добавляемые для конкретной прикладной задачи

Боюсь, что Вы путаете аксиомы и входные данные. Скажем, в том же контуре предположение о том, что, дескать, ёмкость равна 470 пф -- это никакая не аксиома. Ровно так же и предположение о равновероятности -- никакая не аксиома, а входное данное. Которое может на опыте подтвердиться или нет.

epros в сообщении #186064 писал(а):

Причём эти дополнительные предположения для конкретной задачи Вы ни из какой "практики" не извлечёте.

Их ниоткуда больше не извлечёшь. Их можно только выдвинуть в качестве гипотез -- а потом смотреть, подтвердятся ли они опытом (что вовсе не обязательно).
Причём подтверждения обычно получаются косвенными: проверяются не сами гипотезы, а следствия из них. Ровно как и при проверке аксиом. Однако принципиально различна степень косвенности. Если конкретные предположения проверяются конкретными же опытами, то аксиомы -- всем массивом опытов.

epros в сообщении #186064 писал(а):

Вот так. Пока исчерпывающим образом не сформулируете все условия задачи измерения, даже сумму углов треугольника измерить однозначно не сможете.

Собеседники Вам, конечно, странные попадаются, но ведь к делу это не относится. Вы предложили одну систему аксиом, собеседник -- некую загадочную другую. Так вот коли система зафиксирована, то дальше всё сводится к измерениям. Меряйте и проверяйте, какая из ваших систем адекватнее.
С вероятностью всё хуже в том отношении, что никакой опыт не может гарантировать осмысленность для данного события понятия вероятности.

[epros]

ewert писал(а):

Боюсь, что Вы путаете аксиомы и входные данные. Скажем, в том же контуре предположение о том, что, дескать, ёмкость равна 470 пф -- это никакая не аксиома. Ровно так же и предположение о равновероятности -- никакая не аксиома, а входное данное. Которое может на опыте подтвердиться или нет.

А по-моему, это Вы зря так уж принципиально разделяете (аксиомы и условия задачи). Скажем, в электродинамике свои аксиомы, чтобы получить теорию электрических цепей - к ним нужно добавить некоторые дополнительные ограничения, а чтобы получить конкретную задачу про частоту собственных колебаний контура - к ним нужно добавить условие, что ёмкость равна тому-то. Это называется "конкретизация".

Кстати, надеюсь, Вы не путаете указанное мной выше условие "равновероятности значений вероятности" с условием равновероятности исходов?

ewert писал(а):

Которое может на опыте подтвердиться или нет.

ewert писал(а):

epros в сообщении #186064 писал(а):

Причём эти дополнительные предположения для конкретной задачи Вы ни из какой "практики" не извлечёте.

Их ниоткуда больше не извлечёшь. Их можно только выдвинуть в качестве гипотез -- а потом смотреть, подтвердятся ли они опытом (что вовсе не обязательно).
Причём подтверждения обычно получаются косвенными: проверяются не сами гипотезы, а следствия из них. Ровно как и при проверке аксиом.

Конкретные "входные данные", определяющие условия задачи, обычно не "подтверждаются опытом", а просто влияют на адекватность постановки задачи конкретной ситуации. Если Вы посчитали ёмкость равной 470 пф и в результате расчёта получили частоту колебаний, соответствующую наблюдаемой, то это не означает, что данное наблюдение "подтвердило" правильный выбор значения ёмкости. Это может означать, например, что Вы при расчёте ещё и подогнали предполагаемую индуктивность под наблюдаемое значение частоты.

Ровно так же и с вероятностной задачей: Если Вы используете три указанных выше предположения для постановки задачи о бросаниях монеты, а потом с помощью формулы Байеса выведете оценку по максимуму вероятности для величины вероятности выпадения орла, то Вы получите в качестве такой оценки $m \over n$, т.е. частоту выпадения орла в серии из $n$ испытаний. После этого, какую бы частоту выпадений орла Вы ни получили в серии реальных испытаний, это никак не поможет Вам подтвердить или опровергнуть исходные предположения.

Вы даже не сможете убедиться в том, что результаты этой серии испытаний не были подстроены, и всё не изменится сразу, как только Вы заключите пари на следующую серию испытаний.

ewert писал(а):

Собеседники Вам, конечно, странные попадаются, но ведь к делу это не относится.

И не говорите, порой такие странные... Это ещё достаточно продвинутый случай, когда в итоге человек хотя бы может сформулировать свою постановку задачи (или аксиоматику, если хотите).

ewert писал(а):

Меряйте и проверяйте, какая из ваших систем адекватнее.

Фишка в том, что достаточно продвинутые теории часто таковы, что в них практически нечего проверять. Т.е. придумать постановку эксперимента, результат которого в принципе мог бы опровергнуть теорию, - это порой совсем непростая задача.

ewert писал(а):

С вероятностью всё хуже в том отношении, что никакой опыт не может гарантировать осмысленность для данного события понятия вероятности.

Ну почему же "хуже"? По-моему лучше! Это достаточно фундаментальное понятие, так что очень трудно придумать ситуацию, к которой оно бы ну никак не подходило. Что же в этом плохого?