Свернуть сумму первых n слагаемых степенных сумм

[Trotil]

Несколько лет на семинаре показывали универсальный прием подсчитать первых $n$ членов $i^k$ считали через биномиальные коэффициенты.
Сумму квадратов считали через $C_n^3$, сумму кубов - через $C_n^4$ и т.д.

Напомните идею, буду рад.

[gris]

Да, это красивые формулы.

$\sum\limits_{k=1}^n k^0 = C_n^1$

$\sum k^1 = C_n^1+C_n^2$

$\sum k^2 = C_n^1+3C_n^2+2C_n^3$

И ещё $\sum \limits_{k=1}^n (-1)^k \cdot k^m C_n^k=0$, где $1 \leq m < n$

То есть, например,

$-5 \cdot 1^2+10 \cdot 2^2-10 \cdot 3^2+5 \cdot 4^2- 5^2=0$

$-5 \cdot 1^3+10 \cdot 2^3-10 \cdot 3^3+5 \cdot 4^3- 5^3=0$

Обычно получаются как побочный продукт изучения биномиальных коэффициентов в математических кружках.
Идея... Впрочем, в "Кванте" №5 за 1973 год есть статья именно про это.