2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Свернуть сумму первых n слагаемых степенных сумм
Сообщение11.02.2009, 22:08 
Аватара пользователя
Несколько лет на семинаре показывали универсальный прием подсчитать первых $n$ членов $i^k$ считали через биномиальные коэффициенты.
Сумму квадратов считали через $C_n^3$, сумму кубов - через $C_n^4$ и т.д.

Напомните идею, буду рад.

 
 
 
 
Сообщение12.02.2009, 10:35 
Аватара пользователя
Да, это красивые формулы.

$\sum\limits_{k=1}^n  k^0 = C_n^1$

$\sum k^1 = C_n^1+C_n^2$

$\sum k^2 = C_n^1+3C_n^2+2C_n^3$

И ещё $\sum \limits_{k=1}^n  (-1)^k \cdot k^m C_n^k=0$, где $1 \leq m < n$

То есть, например,

$-5 \cdot  1^2+10 \cdot 2^2-10 \cdot 3^2+5 \cdot 4^2- 5^2=0$

$-5 \cdot  1^3+10 \cdot 2^3-10 \cdot 3^3+5 \cdot 4^3- 5^3=0$

Обычно получаются как побочный продукт изучения биномиальных коэффициентов в математических кружках.
Идея... Впрочем, в "Кванте" №5 за 1973 год есть статья именно про это.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group