Три довольно простых сравнения

[Cantspeak]

В общем, есть три сравнения:

$$ x^3 - 1 \equiv _{37} 0 $$

Сколько имеет решений?

$$ x^{15} + x + 1 \equiv _{31} 0 $$

Разрешимо ли?

$$ 2x^2 + 1 \equiv _p 0 $$

Для каких простых p разрешимо?

Теперь мои соображения:
№ 1) Можно решать через индексы, но получается только один корень,

$$x \equiv_{37} 1$$

и я не уверен, все ли это корни

№ 3) Очень хочется применить теорему Вильсона:

$$ 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot (p - 1) + 1 \equiv _p 0 $$

, где p - простое
а дальше решать через Символ Лежандра

№ 2) вообще без продуктивных идей

[gris]

№ 1) Все корни

$$x \equiv_{37} 1;\quad x \equiv_{37} 10;\quad x \equiv_{37} 26$$

[Cantspeak]

хм. Ну я понял, что решения три. Так как это есть

$$ (\phi(37),3) $$

Но почему именно такие?

upd: всё, разобрался

[TOTAL]

Cantspeak писал(а):

№ 2) вообще без продуктивных идей

Попробовать подобрать решение - чем не продуктивная идея?

[Trotil]

Cantspeak писал(а):

№ 2) вообще без продуктивных идей

$$ x^{15} \equiv _{31} $$

может принимать только два значения. Рассмотрите эти случаи.

[ИСН]

В третьем сразу через упомянутый символ (а Вильсон здесь примерно так же релевантен, как стиральный порошок) сведётся, кажется, к тому, что разрешимо для простых вида $8n+1$ и $8n+3$, прочим фигушки.
Первые два вообще не задачи, ибо перебором.

[TOTAL]

Trotil писал(а):

$$ x^{15} \equiv _{31} $$

может принимать только два значения.

Больше чем два.

[gris]

Ну вообще-то два (1 и 30). Уравнение решений не имеет всё равно.

[TOTAL]

gris писал(а):

Ну вообще-то два (1 и 30). Уравнение решений не имеет всё равно.

Больше чем два. Уравнение имеет решение.

[gris]

$x^{n}\equiv_{2n+1}=1$ или $2n$

PS это верно только для простых $2n+1$ и кроме того $0^{n}\equiv_{2n+1}=0$

[TOTAL]

gris писал(а):

Вы имеете ввиду точно $x^{15}+x+1\equiv_{31}=0$?

Нет, я имею в виду $x^{15}+x+1\equiv_{31}=0$, но с существованием решения я ошибся.

[gris]

Упс. В действительных числах то есть...

[TOTAL]

gris писал(а):

$x^{n}\equiv_{2n+1}=1$ или $2n$

Или еще чему-нибудь.

[Trotil]

31 - число простое, поэтому только 1 или 30. И частный случай

$$0^{15}=0$$

, но $x=0$ - тоже не решение.
Это неверно?

[gris]

TOTAL, Вы правы, я пропустил 0. Я имел в виду, что его нет среди ненулевых $x$. И, конечно, имел в виду только простые $2n+1$. Спс за урок русского