2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Три довольно простых сравнения
Сообщение10.02.2009, 13:04 
В общем, есть три сравнения:
$$
x^3  - 1 \equiv _{37} 0
$$ Сколько имеет решений?
$$
x^{15}  + x + 1 \equiv _{31} 0
$$ Разрешимо ли?
$$
2x^2  + 1 \equiv _p 0
$$ Для каких простых p разрешимо?

Теперь мои соображения:
№ 1) Можно решать через индексы, но получается только один корень, $$x \equiv_{37} 1$$ и я не уверен, все ли это корни

№ 3) Очень хочется применить теорему Вильсона:
$$
1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot (p - 1) + 1 \equiv _p 0
$$, где p - простое
а дальше решать через Символ Лежандра

№ 2) вообще без продуктивных идей

 
 
 
 Re: Три довольно простых сравнения
Сообщение10.02.2009, 13:30 
Аватара пользователя
№ 1) Все корни $$x \equiv_{37} 1;\quad x \equiv_{37} 10;\quad x \equiv_{37} 26$$

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 13:49 
хм. Ну я понял, что решения три. Так как это есть $$ (\phi(37),3) $$ Но почему именно такие?

upd: всё, разобрался

 
 
 
 Re: Три довольно простых сравнения
Сообщение10.02.2009, 14:03 
Аватара пользователя
Cantspeak писал(а):
№ 2) вообще без продуктивных идей
Попробовать подобрать решение - чем не продуктивная идея?

 
 
 
 Re: Три довольно простых сравнения
Сообщение10.02.2009, 14:19 
Аватара пользователя
Cantspeak писал(а):
№ 2) вообще без продуктивных идей


$$
x^{15} \equiv _{31}
$$ может принимать только два значения. Рассмотрите эти случаи.

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 14:22 
Аватара пользователя
В третьем сразу через упомянутый символ (а Вильсон здесь примерно так же релевантен, как стиральный порошок) сведётся, кажется, к тому, что разрешимо для простых вида $8n+1$ и $8n+3$, прочим фигушки.
Первые два вообще не задачи, ибо перебором.

 
 
 
 Re: Три довольно простых сравнения
Сообщение10.02.2009, 14:38 
Аватара пользователя
Trotil писал(а):
$$
x^{15} \equiv _{31}
$$ может принимать только два значения.
Больше чем два.

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 14:56 
Аватара пользователя
Ну вообще-то два (1 и 30). Уравнение решений не имеет всё равно.

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 15:00 
Аватара пользователя
gris писал(а):
Ну вообще-то два (1 и 30). Уравнение решений не имеет всё равно.

Больше чем два. Уравнение имеет решение.

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 15:09 
Аватара пользователя
$x^{n}\equiv_{2n+1}=1$ или $2n$

PS это верно только для простых $2n+1$ и кроме того $0^{n}\equiv_{2n+1}=0$

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 15:14 
Аватара пользователя
gris писал(а):
Вы имеете ввиду точно $x^{15}+x+1\equiv_{31}=0$?

Нет, я имею в виду $x^{15}+x+1\equiv_{31}=0$, но с существованием решения я ошибся.

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 15:16 
Аватара пользователя
Упс. В действительных числах то есть...

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 15:22 
Аватара пользователя
gris писал(а):
$x^{n}\equiv_{2n+1}=1$ или $2n$
Или еще чему-нибудь. :D

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 16:02 
Аватара пользователя
31 - число простое, поэтому только 1 или 30. И частный случай $$0^{15}=0$$, но $x=0$ - тоже не решение.
Это неверно?

 
 
 
 
Сообщение10.02.2009, 16:25 
Аватара пользователя
TOTAL, Вы правы, я пропустил 0. Я имел в виду, что его нет среди ненулевых $x$. И, конечно, имел в виду только простые $2n+1$. Спс за урок русского :)

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group