Магические квадраты

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

maxal писал(а):

Вам надо искать специализированную программу для построения и анализа латинских квадратов, а если такой нет - то писать самой. Увы, но не всякий изобретенный алгоритм реализован в виде программы, и то, что вам нужно не существует, может банально не существовать.

Спасибо за пару ОЛК 20-го порядка. Сейчас проанализирую, что это за пара, не составлена ли она методом составных квадратов.
Однако вот ведь другой пакет строит пару ОЛК 20-го порядка, не являющегося степенью простого числа! Почему же Maple этого не делает? Не считаю, что мои претензии к Maple глупые.
В том-то и дело, что нужные мне пары ОЛК 14-го и 20-го порядка (и всех следующих порядков серии $n = 2(mod 6)$ ) существуют и это доказано. Вы сами сейчас подтвердили существование пары ОЛК 20-го порядка.
А почему это не всякий изобретённый алгоритм реализован в виде программы? Чёткий алгоритм всегда можно реализовать. Не мне вам это говорить.
Я не успеваю за вашими добавлениями

Во-первых, почему же это только для меня? Что, разве пакет Maple составлялся только для меня? Думаю, что ортогональными латинскими квадратами занимаюсь не я одна на всём свете.
Насчёт разаработанных замечательных алгоритмов. Такие алгоритмы должны отслеживать сами разработчики пакета, если они хотят, чтобы их пакет был совершенным. И не включить в пакет алгоритм, который существует 40 лет - это, извините, большой прокол!
Что касается разработки других замечательных алгоритмов - стараюсь по мере сил

А посылать свои алгоритмы авторам пакета не собираюсь. Пусть сами возьмут их из моих статей.

maxal · 11/01/06 5702

Nataly-Mak в сообщении #183050 писал(а):

Почему же Maple этого не делает?

А почему он собственно должен? Возможно, авторы мапла не считают, что построение пар ОЛК для произвольных порядков является достаточно востребованной фичей.

Nataly-Mak в сообщении #183050 писал(а):

А почему это не всякий изобретённый алгоритм реализован в виде программы? Чёткий алгоритм всегда можно реализовать.

Между "можно реализовать" и реализацией - громадная пропасть. Потому как любая реализация не падает с неба в виде манны, люди должны затратить на нее создание определенные ресурсы. Реализовать может либо заинтересованный ученый, обладающий необходимыми навыками; либо если реализация представляет коммерческую выгоду - авторы мат.пакета типа мапла. Если нет ни того, ни другого - нет и реализации.

Добавлено спустя 6 минут 49 секунд:

Nataly-Mak в сообщении #183050 писал(а):

Такие алгоритмы должны отслеживать сами разработчики пакета, если они хотят, чтобы их пакет был совершенным.

Авторы мапла хотят, чтобы их пакет хорошо продавался. И совершенствовать они его будут в основном так, чтобы это было коммерчески выгодно. А еще у них может быть список из нескольких сот нереализованых алгоритмов, и ваш вожделенный в нем отнюдь не на первом месте (если вообще присутствует).

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Бесполезный спор!..
Лучше помогите разобраться в статье Тодорова, в которой он строит три MOLS 14-го порядка и в следующей его статье, в которой он строит 4 MOLS 20-го порядка.
Как я вижу, здесь, кроме вас, это абсолютно некому сделать

Ох, опять добавление...
Да нет вообще моего вожделенного алгоритма!! Его ещё никто не придумал. Я имею в виду составление пар ОЛК для той самой серии порядков, в котрую входят порядки 14 и 20. Вы сами только что сказали, что для этих порядков существуют только частные способы построения. Где же он, мой вожделенный? А тот алгоритм, который существует 40 лет, я не жажду уже увидеть где бы то ни было, потому что я его уже знаю.

Добавлено спустя 2 часа 58 минут 55 секунд:

maxal, как я и предполагала, приведённая вами пара ОЛК 20-го порядка построена методом составных квадратов. Такие пары я тоже умею строить. В статье “Группы взаимно ортогональных латинских квадратов” мной построена группа из трёх взаимно ортогональных латинских квадратов 20-го порядка методом составных квадратов. Вот один из этих квадратов:

Код:

2 3 4 5 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 16 17 18 19 20
5 1 2 3 14 15 11 12 13 9 10 6 7 8 19 20 16 17 18
3 4 5 1 12 13 14 15 11 7 8 9 10 6 17 18 19 20 16
1 2 3 4 15 11 12 13 14 10 6 7 8 9 20 16 17 18 19
4 5 1 2 13 14 15 11 12 8 9 10 6 7 18 19 20 16 17
7 8 9 10 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15
10 6 7 8 19 20 16 17 18 4 5 1 2 3 14 15 11 12 13
8 9 10 6 17 18 19 20 16 2 3 4 5 1 12 13 14 15 11
6 7 8 9 20 16 17 18 19 5 1 2 3 4 15 11 12 13 14
9 10 6 7 18 19 20 16 17 3 4 5 1 2 13 14 15 11 12
17 18 19 20 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5
20 16 17 18 9 10 6 7 8 14 15 11 12 13 4 5 1 2 3
18 19 20 16 7 8 9 10 6 12 13 14 15 11 2 3 4 5 1
16 17 18 19 10 6 7 8 9 15 11 12 13 14 5 1 2 3 4
19 20 16 17 8 9 10 6 7 13 14 15 11 12 3 4 5 1 2
12 13 14 15 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 6 7 8 9 10
15 11 12 13 4 5 1 2 3 19 20 16 17 18 9 10 6 7 8
13 14 15 11 2 3 4 5 1 17 18 19 20 16 7 8 9 10 6
11 12 13 14 5 1 2 3 4 20 16 17 18 19 10 6 7 8 9
14 15 11 12 3 4 5 1 2 18 19 20 16 17 8 9 10 6 7

Больше трёх MOLS 20-го порядка нельзя построить методом составных квадратов, так как взаимно ортогональных латинских квадратов 4-го порядка только 3.
Однако существуют совсем другие группы MOLS 20-го порядка, которые строятся не методом составных квадратов и состоят из 4 квадратов (см. статью Тодорова или статью M. Wajtas). Меня интересуют эти группы. Хочется понять данный метод построения, связанный с ортогональными массивами.

Jnrty · 16/01/07 1567 Северодвинск

Nataly-Mak в сообщении #183045 писал(а):

По-прежнему считаю, что все достижения математики должны быть отражены в пакете математических программ.

Нельзя объять необъятное. (Козьма Прутков)

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

В том случае, если и не пытаться это делать...
Почему-то другой пакет это "объял", а Maple не мог "объять". Если существует универсальный метод составления пар ОЛК (метод составных квадратов), грех не заложить его в пакет математических программ.

Добавлено спустя 1 час 52 минуты 58 секунд:

maxal, у меня к вам вопрос по циклу статей. Как мне кажется, вы дали его не полностью. Нет тех квадратов, которые вы приводили раньше, например, полумагического квадрата Франклина, концентрических магических квадратов. Почему так? И ещё один вопрос: к какому году относится этот цикл статей?
***
В начале этой ветки я пыталась выяснить, действительно ли Александров впервые в мире построил идеальный квадрат 15-го порядка. Тогда это выяснить так и не удалось. А вот сейчас, заглянув в журнал, который выложил maxal, я нашла ответ. На фигуре 11 изображены два ортогональных латинских классических квадрата, с помощью которых строятся два идеальных магических квадрата 15-го порядка (А+15В или 15А+В). В этих идеальных квадратах начальная цепочка имеет форму "ход конём", как и в идеальном квадрате, построенном Александровым. Ещё более удивительно, что на фигуре 12 изображены два обобщённых ортогональных латинских квадрата, с помощью которых тоже строятся два идеальных магических квадрата 15-го порядка, и в этих квадратах начальная цепочка имеет совсем другую форму, то есть это совершенно новый вид идеальных квадратов 15-го порядка, который не был получен ни Александровым, ни мной. Привожу здесь этот идеальный магический квадрат.

Код:

104 207 82 171 31 119 192 67 156 16 134 222 52 141
81 166 14 102 187 66 151 44 117 217 51 136 29 132
12 97 201 76 164 42 112 186 61 149 27 127 216 46
196 89 177 7 111 181 74 162 37 126 211 59 147 22
172 6 91 209 72 157 36 106 194 57 142 21 121 224
103 206 83 170 33 118 191 68 155 18 133 221 53 140
80 168 13 101 188 65 153 43 116 218 50 138 28 131
11 98 200 78 163 41 113 185 63 148 26 128 215 48
198 88 176 8 110 183 73 161 38 125 213 58 146 23
173 5 93 208 71 158 35 108 193 56 143 20 123 223
105 205 84 169 32 120 190 69 154 17 135 220 54 139
79 167 15 100 189 64 152 45 115 219 49 137 30 130
10 99 199 77 165 40 114 184 62 150 25 129 214 47
197 90 175 9 109 182 75 160 39 124 212 60 145 24
174 4 92 210 70 159 34 107 195 55 144 19 122 225

Наконец-то созданный в Интернете миф развеян.

maxal · 11/01/06 5702

Nataly-Mak в сообщении #183109 писал(а):

Почему-то другой пакет это "объял", а Maple не мог "объять". Если существует универсальный метод составления пар ОЛК (метод составных квадратов), грех не заложить его в пакет математических программ.

Напишите это авторам мапла - посмотрим насколько они набожные :lol:

Nataly-Mak в сообщении #183109 писал(а):

maxal, у меня к вам вопрос по циклу статей. Как мне кажется, вы дали его не полностью. Нет тех квадратов, которые вы приводили раньше, например, полумагического квадрата Франклина, концентрических магических квадратов. Почему так? И ещё один вопрос: к какому году относится этот цикл статей?

Цикл относится к 1938-1945 годам, и приведен он полностью. Другие мелькавшие здесь квадраты были самостоятельными публикациями (не относящимися к этому циклу), хотя и из того же журнала.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

maxal писал(а):

Напишите это авторам мапла - посмотрим насколько они набожные :lol:

Я надеюсь, что авторы Maple сами мне напишут и поблагодарят за указанный недостаток.
Спасибо за разъяснения по циклу статей.
А как насчёт статей Тодорова? Вы можете мне помочь в них разобраться? Или вы тоже не в теме?
Один человек был в теме - и тот статью Тодорова не одолел. Куда же мне ещё обращаться? Наверное, как Высоцкий пел, надо написать в Спортлото

vasiatka · 09/02/09 3

Aleks-Sid писал(а):

Да... По поводу проблемы есть публикации, но не конкретные. Например, http://mathinfinity.net.ru/blog/latin_square

Спасибо за такое внимание к моей скромной персоне:) Хотел бы пояснить, неконкретность данного поста. Пару лет назад, я читал книгу. Не соврать бы ... По русски звучит "Латинские квадраты в дискретной математике". Скачал ее c инета на английском языке. В этом посте я просто поделился впечатлениями о прочитанной книге.

качал от сюда http://lib.mexmat.ru/books/994 , но сейчас эту лавочку прикрыли...

К сожалению прочитать всю тему нет времени. Но думаю, эта книга описывает все о чем тут говорится или спрашивается. Единственный минут - она на английском, но читается довольно легко: не сложный язык и много формул:)

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Да, книгу на сайте не дают. Есть обложка, название, авторы, аннотация. Далее написано, что скачать книгу с сайта нельзя.
А где тогда можно?
Название: Discrete mathematics using Latin squares
Авторы: Laywine C.F., Mullen G.L.
vasiatka, может быть, у вас сохранилась эта книга? Не поделитесь?
***
"Вгрызаюсь" в ОЛК. Просмотрела кучу статей, именно просмотрела, а не прочитала, потому что все статьи на английском языке. В статье "Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)" (R. Julian, R. Abel и другие) увидела "живой" ортогональный массив. Так и написано: пример ортогонального массива ОА(5,4) для 3 MOLS порядка 4. Вот этот массив:

Код:

1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4
2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 3 4 1 2
2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3
2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1

Теперь хоть абсолютно чётко представляю, что такое ортогональный массив. Его ещё, кажется, матрицей Адамара называют?
В решении задачи построения пары ОЛК 14-го порядка не продвинулась ни на йоту. Помощников по-прежнему ноль.
***
Удалось довести до логического завершения метод латинских квадратов для построения идеальных магических квадратов любого нечётного порядка $n>3$ . См. статью"Новые аспекты метода латинских квадратов (часть VIII)".
Теперь этот алгоритм разработан в чистом виде как метод латинских квадратов, то есть для его реализации не нужны ни цепи Александрова, ни мои качели. Зря мы с Александровым старались

: метод был известен в первой половине XX века, а, может быть, ещё раньше. Я нашла его в цикле статей, который выложил maxal.

maxal · 11/01/06 5702

Nataly-Mak
Где скачать - легко находиться в http://ebdb.ru/ или http://poiskknig.ru/
Это же справедливо для многих других электронных книг.

vasiatka · 09/02/09 3

Рад помочь сейчас заливается на сервер через 5 минут можно качать Латинские квадраты. Если ссылка не работат пишите.

UPD. ссылка будет работать пару недель.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

maxal, спасибо за ссылки. Буду знать, как искать книги.
vasiatka, благодарю вас за книгу. Всё прекрасно скачалось, сейчас буду просматривать.

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Подсказка наконец-то пришла – из Швеции! Спасибо, shwedka! Да здравствует дружба народов

Подсказка была очень маленькая, прямо с ноготок, но зато какая важная! Она содержала ту самую инструкцию, которую я не могу найти уже два месяца: как из ортогонального массива построить сами ортогональные квадраты. Всё оказалось очень просто. Надо только знать это самое КАК.
Получив подсказку, открыла свои черновики, нашла ортогональный массив, построенный для пары ОЛК 14-го порядка по книге Холла, и вот она – пара ОЛК 14-го порядка! Тодорова пока не смотрела, но думаю, что и там теперь удастся “расколоть”.
Показываю ортогональные латинские квадраты 14-го порядка, построенные по Холлу. Для этой пары ОЛК Холл описывает построение ортогонального массива, то есть матрицы размером 4х196, все строки которой попарно ортогональны. Сами ортогональные квадраты из ортогонального массива получаются элементарно.
Первый латинский квадрат:

Код:

13 10 11 12 7 1 8 2 5 3 4 6 9
1 13 0 11 12 8 2 9 3 6 5 7 10
5 2 13 1 11 12 9 3 10 4 6 8 0
8 6 3 13 2 11 12 10 4 0 7 9 1
6 9 7 4 13 3 11 12 0 5 8 10 2
2 7 10 8 5 13 4 11 12 1 9 0 3
7 3 8 0 9 6 13 5 11 12 10 1 4
3 8 4 9 1 10 7 13 6 11 0 2 5
12 4 9 5 10 2 0 8 13 7 1 3 6
11 12 5 10 6 0 3 1 9 13 2 4 7
9 11 12 6 0 7 1 4 2 10 3 5 8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 12 13 11
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 13 11 12

Второй латинский квадрат:

Код:

3 13 10 9 12 4 11 7 6 5 1 2 8
1 4 13 0 10 12 5 11 8 7 2 3 9
7 2 5 13 1 0 12 6 11 9 3 4 10
9 8 3 6 13 2 1 12 7 11 4 5 0
0 10 9 4 7 13 3 2 12 8 5 6 1
11 1 0 10 5 8 13 4 3 12 6 7 2
10 11 2 1 0 6 9 13 5 4 7 8 3
12 0 11 3 2 1 7 10 13 6 8 9 4
6 12 1 11 4 3 2 8 0 13 9 10 5
8 7 12 2 11 5 4 3 9 1 10 0 6
13 9 8 12 3 11 6 5 4 10 0 1 7
4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 11 12 13
5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 13 11 12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 12 13 11

Магический квадрат 14-го порядка, построенный из данной пары ОЛК методом латинских квадратов, пока не могу показать: латинские квадраты не диагональные и для построения магического квадрата не пригодны, из этой пары можно построить только полумагический квадрат. Надо эти латинские квадраты преобразовать. Не знаю ещё, получится ли, но надеюсь, что получится. Спешила сообщить, что пару ОЛК построила.
И алгоритм построения очень простой, можно запросто составить программу. Теперь займусь составлением пары ОЛК 20-го порядка по аналогии.
shwedka сообщила мне, что один математик уже составил программу для построения MOLS рассматриваемой серии порядков. Таким образом, алгоритм не только существует, но уже и реализован (заметьте, maxal).

Добавлено спустя 59 минут 22 секунды:

Латинские квадраты очень легко преобразовались. Теперь показываю первый магический квадрат 14-го порядка, построенный методом латинских квадратов (из пары ортогональных классических латинских квадратов):

Код:

 1  39  154  157  178  110  19  125  190  77  48  58  88  135 
 63  16  33  14  155  171  124  188  139  51  92  74  109  150 
 107  78  186  34  28  156  169  138  49  153  66  95  117  3 
 73  122  93  53  35  196  158  170  152  64  13  103  132  15 
 27  85  129  108  61  36  56  165  172  12  79  118  147  184 
 94  195  100  141  115  76  37  70  159  179  26  133  8  46 
 194  101  55  116  2  127  91  38  84  160  173  148  23  67 
 174  54  113  69  137  18  142  106  31  98  161  9  192  75 
 162  175  68  128  83  145  193  4  121  29  112  24  45  90 
 126  163  176  82  144  97  6  47  25  136  30  185  57  105 
 32  140  164  177  96  11  111  21  62  187  143  43  72  120 
 151  5  20  189  50  65  80  87  99  114  130  167  180  42 
 131  146  7  22  191  52  59  71  86  102  123  182  41  166 
 44  60  81  89  104  119  134  149  10  17  183  40  168  181

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Прямо “заговор молчания” какой-то

Похоже, что кроме maxal темой магических и латинских квадратов больше никто на этом форуме не интересуется, как, впрочем, и на других форумах (я ещё пыталась писать на эту тему на 2-3 форумах, результат тот же самый).
Я ведь пишу сюда не для того, чтобы только рассказать о своих результатах. Мне хочется получить новые мысли и идеи, которые могли бы помочь улучшить эти результаты. Однако не вижу ни одной идеи, ни одного комментария.
“Расколоть” статью Тодорова мне не удаётся. Вот написал! Похоже на то, что он и сам сейчас не сможет разобраться в том, что написал 24 года назад.
У меня уже был один случай такой “непонятки”, в статье одного канадца. Это было непонятное преобразование, с помощью которого строится совершенный магический квадрат (это преобразование здесь обсуждалось). Тогда тоже было написано письмо автору статьи, и он не смог объяснить это преобразование. Но в том случае мне сказали: ну, автор просто использовал чужой результат, поэтому и не может теперь его объяснить. Но Тодоров-то не чужой результат использовал! Сам сочинил. Нет, я ничего не говорю, очень может быть, что он всё правильно сочинил, да только три MOLS 14-го порядка по его сочинению у меня никак не получаются. Вот по сочинению М. Холла (Комбинаторика, М.: Мир, 1970) всё сразу получилось. За квадратами порядка 14 Холл даёт пример для квадратов порядка 26. И тоже всё сразу получается! Пару ОЛК 26-го порядка по матрице Холла я построила с ходу. Вот эта пара:
Первый латинский квадрат

Код:

23 1 22 7 16 12 2 9 19 25 24 3 18 21 13 6 14 4 11 5 10 15 20 17 8
1 23 2 0 8 17 13 3 10 20 25 24 4 19 22 14 7 15 5 12 6 11 21 18 9
17 2 23 3 1 9 18 14 4 11 21 25 24 5 20 0 15 8 16 6 13 7 22 19 10
13 18 3 23 4 2 10 19 15 5 12 22 25 24 6 21 1 16 9 17 7 14 0 20 11
9 14 19 4 23 5 3 11 20 16 6 13 0 25 24 7 22 2 17 10 18 8 1 21 12
16 10 15 20 5 23 6 4 12 21 17 7 14 1 25 24 8 0 3 18 11 19 2 22 13
10 17 11 16 21 6 23 7 5 13 22 18 8 15 2 25 24 9 1 4 19 12 3 0 14
21 11 18 12 17 22 7 23 8 6 14 0 19 9 16 3 25 24 10 2 5 20 4 1 15
14 22 12 19 13 18 0 8 23 9 7 15 1 20 10 17 4 25 24 11 3 6 5 2 16
22 15 0 13 20 14 19 1 9 23 10 8 16 2 21 11 18 5 25 24 12 4 6 3 17
8 0 16 1 14 21 15 20 2 10 23 11 9 17 3 22 12 19 6 25 24 13 7 4 18
6 9 1 17 2 15 22 16 21 3 11 23 12 10 18 4 0 13 20 7 25 24 8 5 19
15 7 10 2 18 3 16 0 17 22 4 12 23 13 11 19 5 1 14 21 8 25 9 6 20
24 16 8 11 3 19 4 17 1 18 0 5 13 23 14 12 20 6 2 15 22 9 10 7 21
25 24 17 9 12 4 20 5 18 2 19 1 6 14 23 15 13 21 7 3 16 0 11 8 22
11 25 24 18 10 13 5 21 6 19 3 20 2 7 15 23 16 14 22 8 4 17 12 9 0
2 12 25 24 19 11 14 6 22 7 20 4 21 3 8 16 23 17 15 0 9 5 13 10 1
19 3 13 25 24 20 12 15 7 0 8 21 5 22 4 9 17 23 18 16 1 10 14 11 2
7 20 4 14 25 24 21 13 16 8 1 9 22 6 0 5 10 18 23 19 17 2 15 12 3
12 8 21 5 15 25 24 22 14 17 9 2 10 0 7 1 6 11 19 23 20 18 16 13 4
4 13 9 22 6 16 25 24 0 15 18 10 3 11 1 8 2 7 12 20 23 21 17 14 5
20 5 14 10 0 7 17 25 24 1 16 19 11 4 12 2 9 3 8 13 21 23 18 15 6
0 21 6 15 11 1 8 18 25 24 2 17 20 12 5 13 3 10 4 9 14 22 19 16 7
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0 1 2 3 23 24 25
18 19 20 21 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 25 23
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0 1 25 23 24

Второй латинский квадрат

Код:

4 16 23 13 18 24 12 7 3 2 17 8 11 22 25 20 10 15 14 9 5 1 19 6 21
1 5 17 23 14 19 24 13 8 4 3 18 9 12 0 25 21 11 16 15 10 6 20 7 22
3 2 6 18 23 15 20 24 14 9 5 4 19 10 13 1 25 22 12 17 16 11 21 8 0
8 4 3 7 19 23 16 21 24 15 10 6 5 20 11 14 2 25 0 13 18 17 22 9 1
13 9 5 4 8 20 23 17 22 24 16 11 7 6 21 12 15 3 25 1 14 19 0 10 2
19 14 10 6 5 9 21 23 18 0 24 17 12 8 7 22 13 16 4 25 2 15 1 11 3
21 20 15 11 7 6 10 22 23 19 1 24 18 13 9 8 0 14 17 5 25 3 2 12 4
17 22 21 16 12 8 7 11 0 23 20 2 24 19 14 10 9 1 15 18 6 25 3 13 5
5 18 0 22 17 13 9 8 12 1 23 21 3 24 20 15 11 10 2 16 19 7 4 14 6
25 6 19 1 0 18 14 10 9 13 2 23 22 4 24 21 16 12 11 3 17 20 5 15 7
9 25 7 20 2 1 19 15 11 10 14 3 23 0 5 24 22 17 13 12 4 18 6 16 8
22 10 25 8 21 3 2 20 16 12 11 15 4 23 1 6 24 0 18 14 13 5 7 17 9
20 0 11 25 9 22 4 3 21 17 13 12 16 5 23 2 7 24 1 19 15 14 8 18 10
7 21 1 12 25 10 0 5 4 22 18 14 13 17 6 23 3 8 24 2 20 16 9 19 11
16 8 22 2 13 25 11 1 6 5 0 19 15 14 18 7 23 4 9 24 3 21 10 20 12
18 17 9 0 3 14 25 12 2 7 6 1 20 16 15 19 8 23 5 10 24 4 11 21 13
0 19 18 10 1 4 15 25 13 3 8 7 2 21 17 16 20 9 23 6 11 24 12 22 14
6 1 20 19 11 2 5 16 25 14 4 9 8 3 22 18 17 21 10 23 7 12 13 0 15
24 7 2 21 20 12 3 6 17 25 15 5 10 9 4 0 19 18 22 11 23 8 14 1 16
14 24 8 3 22 21 13 4 7 18 25 16 6 11 10 5 1 20 19 0 12 23 15 2 17
10 15 24 9 4 0 22 14 5 8 19 25 17 7 12 11 6 2 21 20 1 13 16 3 18
23 11 16 24 10 5 1 0 15 6 9 20 25 18 8 13 12 7 3 22 21 2 17 4 19
15 23 12 17 24 11 6 2 1 16 7 10 21 25 19 9 14 13 8 4 0 22 18 5 20
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0 23 24 25
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 23 24
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 25 23

Только вот интересный вопрос: как Холл придумал исходные матрицы для построения ортогональных массивов? Я не нашла этого в книге. Может быть, об этом раньше рассказывалось? Я ведь всю книгу не читала, а только этот фрагмент, относящийся к построению ортогональных массивов для квадратов 14 и 26 порядка.
Далее, такой интересный вопрос. Как я уже сказала, построенные по Холлу ортогональные латинские квадраты 14-го порядка не диагональные. Но ведь существуют и диагональные ОЛК данного порядка (это доказано!). Дело в том, что не диагональные ОЛК не пригодны для построения МК (их надо сначала преобразовать). А из пары диагональных ОЛК сразу строится МК. Вот, например, диагональные ОЛК 10-го порядка получены только в 1992 году (три пары). А диагональные ОЛК 14-го порядка найдены? Тот же вопрос относится и к диагональным ОЛК 26-го порядка, и всех следующих порядков рассматриваемой серии $n = 4k + 2, k>1$ (пару диагональных ОЛК 20-го порядка можно построить методом составных квадратов).
Я крутила матрицу AR, построенную Тодоровым и так, и сяк, но ничего у меня не получилось. Ещё раз приведу один из трёх вариантов этой матрицы из статьи в надежде, что кто-нибудь “проникнется”:

Код:

* 0 1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12
* 2 12 10 7 9 5 4 1 11 8 3 6
2 * 9 5 3 12 7 11 0 4 6 8 10
12 9 * 6 2 7 11 1 5 10 0 4 8

Сначала автор построил матрицу AR размером 4х4, а потом написал, что в трёх случаях эту матрицу удалось расширить до матрицы размером 4х14 с помощью ЭВМ.
Прямо шарада какая-то! Как с помощью этой матрицы построить три ОЛК 14-го порядка?
Напомню, что ссылка на мою веб-страницу, посвящённую этой задаче была дана выше.
Точно так же в другой статье Тодоров строит 4 MOLS 20-го порядка. А это матрица автора M. Wojtas тоже для построения четырёх MOLS 20-го порядка (извините за повтор):

Код:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 4 14 8 18 2 12 16 6 11 1 15 5 19 9 13 3 7 17
11 17 6 12 3 9 18 14 5 1 10 16 7 13 2 8 19 15 4
3 12 8 15 1 19 4 5 10 14 18 17 11 9 7 2 16 6 13

Кто-нибудь может на основании этой матрицы построить ортогональный массив ОА(6,20)? Если бы мне дали такой ОА(6,20) или сказали, как его построить, тогда я построила бы 4 MOLS 20-го порядка.
Спасибо за внимание! Простите, что много наговорила

P.S. В связи с приближающимися праздниками - мужским днём и женским днём - всем подарок:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

Nataly-Mak · 22/03/08 ∞ 7154 Саратов

Оставим на время Тодорова и группы MOLS 14-го и 20-го порядка. Ну, не получается ни у кого, что ж тут поделаешь :wink:

Тогда посмотрите, пожалуйста, на построение группы MOLS 12-го порядка, состоящей из 5 квадратов. Построение этой группы я тоже нашла в книге М. Холла. Вот цитата из книги:
“…непосредственным построением Дюльмаж, Джонсон и Мендельсон [1] нашли пять попарно ортогональных латинских квадратов порядка 12. Они исходили из абелевой группы порядка 12, являющейся прямым произведением циклических групп порядков 6 и 2. Пусть $a$ и $b$ с $a^6 = 1$ и $b^2 = 1$ – её образующие элементы. Обозначим: $a_i = a^i$ , $i = 0, …, 5$ , $b_i = ba^i$ , $i = 0, …, 5$
Построим пять строк:

$a_0$ $a_1$ $a_2$ $a_3$ $a_4$ $a_5$ $b_0$ $b_1$ $b_2$ $b_3$ $b_4$ $b_5$
$a_0$ $b_0$ $b_2$ $a_2$ $b_1$ $a_1$ $b_3$ $b_5$ $a_4$ $b_4$ $a_5$ $a_3$
$a_0$ $a_3$ $b_0$ $a_1$ $b_3$ $b_5$ $a_2$ $b_2$ $a_5$ $a_4$ $b_1$ $b_4$
$a_0$ $b_2$ $a_1$ $b_5$ $a_5$ $b_3$ $a_3$ $b_4$ $a_2$ $b_1$ $b_0$ $a_4$
$a_0$ $a_4$ $b_5$ $b_4$ $a_2$ $b_1$ $b_2$ $b_0$ $b_3$ $a_1$ $a_3$ $a_5$

Возьмём эти строки в качестве первых строк пяти квадратов. Строки со второй по двенадцатую образуются умножением первых строк соответственно на $a_0$, …, $a_5$, $b_0$, …, $b_5$ . Нет никакого другого квадрата порядка 12, ортогонального ко всем этим квадратам, и не было найдено никакого множества из шести попарно ортогональных квадратов порядка 12”.
Вот такое построение. Задача очень простая: дать числовые значения $a_i$ , $b_i$ .
В книге “Handbook of Combinatorial Designs” нашла такую теорему:
“Theorem [1206] $N(12)>=5$ . The first row of each the five squares $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ , $L_4$ , $L_5$ is given. Each square is obtained by developing the first row over $Z_2$ x $Z_6$ . The group elemet $(x, y)$ is written as $xy$ .

$L_1$ : $00 01 02 03 04 05 10 11 12 13 14 15$
$L_2$ : $00 03 10 01 13 15 02 12 05 04 11 14$
$L_3$ : $00 12 01 15 05 13 03 14 02 11 10 04$
$L_4$ : $00 04 15 14 02 11 12 10 13 01 03 05$
$L_5$ : $00 10 12 02 11 01 13 15 04 14 05 03$ ”.

Как могу понять из этого фрагмента (без перевода), речь идёт о том же самом, о чём написано у Холла. Правильно? И даже пять первых строк даны в числовых значениях. Я предполагаю, что эти первые пять строк будут такими:

Код:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 6 1 9 11 2 8 5 4 7 10
8 1 11 5 9 3 10 2 7 6 4
4 11 10 2 7 8 6 9 1 3 5
6 8 2 7 1 9 11 4 10 5 3

Хотя вполне вероятно, что неправильно предполагаю. Но если это правильные первые строки в пяти ортогональных латинских квадратах порядка 12, как получить следующие строки? Что на что и как надо умножать? Ведь $0*0 = 0$ , значит, вторая строка тоже будет начинаться с $0$ , а так не должно быть.
Та самая статья, на которую ссылается Холл, у меня тоже есть, прислали. Но ничего не могу в ней понять без перевода, а, может, и с переводом ничего не пойму, как и в статье Тодорова. Чтобы понять эти научные статьи, надо быть, по крайней мере, профессором :cry:

***
Если кому-то интересно, сообщаю, что подробно о построении пар ОЛК 14-го и 26-го порядков по книге Холла рассказано в статье “ Построение ортогональных латинских квадратов из ортогонального массива ”.

Научный форум dxdy

Магические квадраты

Кто сейчас на конференции