Релятивистское рассогласование часов

[epros]

В. Войтик писал(а):

epros писал(а):

Почему это под вопросом? Что мешает нам пользоваться нестатическими СО?

Мешает то, что на мой взгляд форма их метрики точно неизвестна.

Как это "неизвестна"? Кому? Если нужно, перехОдите в нестатическую СО, и всё - метрика Вам будет известна (хотя она и будет зависеть от времени).

Без нестатических СО - никуда. Например, в случае планеты со спутником (скажем, Земля и Луна) решение будет в принципе нестатическим, т.е. статическую СО Вы для него никак не построите.

В. Войтик писал(а):

Впрочем если Вы считаете, что это мнение неверно, то приведите пожалуйста ссылки. Только не на всю библиотеку.

Ссылку на что? Если Вам нужны примеры нестатических СО, их можно на ходу массу придумать, даже для пространства Минковского. Скажем, берёте "раздувающуюся" со временем координатную сетку:
$x' = x (1 + \frac{t}{t_0})$, где со штрихом - новая пространственная координата, $x$ и $t$ - координаты лабораторной ИСО, а $t_0$ - просто параметр размерности времени.
Вот Вам и нестатическая СО. При желании можно и компоненты метрики для неё найти.

В. Войтик писал(а):

Для стержня АВ, задний конец-А, передний-В разность показаний двух часов в момент измерения Т будет

$$\delta\tau={\frac {1+Wx}{W}arthV_B(T)-\frac {1+Wx}{W}arthV_B(0)- \frac {1}{W}arthV_A(T)+\frac{1}{W}arthV_A(0)}$$

где $V_B(T),V_A(T)$ скорости концов стержня в момент Т
$V_B(0),V_A(0)$- скорости концов в начальный момент времени по часам ЛИСО.
Здесь полагается система единиц, где скорость света равна 1.
$x$ собственная длина стержня
$W$ - собственное ускорение конца А

О... Да уж, такими бессмысленными упражненими можно полностью заморочиться. Т.е. Вы берёте два момента времени в лабораторной ИСО, и пытаетесь посчитать разницу между промежутками времени, отмеренными между ними двумя часами на концах жёсткого равноускоренного стержня? Не понимаю, зачем это всё? Кому это может быть нужно?

Для равноускоренного стержня имеет смысл определять отношение промежутков времени по часам на его концах, измеренное в его СО (она и задаётся координатами Мёллера). А сравнивать показания двух разным образом движущихся часов посредством их синхронизации по третьим часам... По-моему, это извращение какое-то.

В. Войтик писал(а):

Я надеюсь, что метрика Мёллера справедлива для любой ускореной системы отсчёта, т. е. и для нестатической системы, но полной уверенности у меня нет и это меня беспокоит. Можно ли с уверенностью сказать, что метрика мёллеровская?
Как это обстоит на Ваш взгляд?

Вы вообще о чём? Координаты Мёллера - это координаты системы отсчёта, связанной с жёстким равноускоренным стержнем (т.е. в этих координатах все точки стержня покоятся). Метрика в этих координатах имеет вид: $g_{t t} = \frac{x^2}{x^2_0}$, $g_{x x} = g_{y y} = g_{z z} = -1$, все недиагональные члены - нулевые. Эта СО является статической, потому что:
1. Компоненты метрики не зависят от времени.
2. Смешанные (пространственно-временные) компоненты метрики равны нулю.
(таково определение статической СО).

[Алия87]

Это рисунок из темы epros ”Криволинейные координаты в плоском пространстве-времени” на форуме ТО.

[В. Войтик]

epros писал(а):

Как это "неизвестна"? Кому? Если нужно, перехОдите в нестатическую СО, и всё - метрика Вам будет известна (хотя она и будет зависеть от времени).

Ссылку на что? Если Вам нужны примеры нестатических СО, их можно на ходу массу придумать, даже для пространства Минковского. Скажем, берёте "раздувающуюся" со временем координатную сетку:
$x' = x (1 + \frac{t}{t_0})$, где со штрихом - новая пространственная координата, $x$ и $t$ - координаты лабораторной ИСО, а $t_0$ - просто параметр размерности времени.
Вот Вам и нестатическая СО. При желании можно и компоненты метрики для неё найти.

Это всё понятно... Ну вот так Вам объясню. Вот Вы привели хороший пример с раздувающейся координатной сеткой. То есть Вы поставили в соответствие одну систему некоторым образом выбранных координат и времени другой системе. Причём обратите внимание, что эти системы на самом деле физически неравноправны. То есть обычно какая-то новая экзотическая система координат и времени выражается через прямоугольные координаты и физическое время ЛИСО. Такие координаты и время ЛИСО являются физически выделенными в том смысле, что интервал в такой инерциальной системе отсчёта является известной комбинацией их квадратов. У меня есть одно предположение, что для каждой системы отсчёта (а под системой отсчёта я понимаю некоторое точечное тело на котором находится наблюдатель) существует такая выделенная система координат и времени(СКВ). Для равномерно ускоренной СО такими координатами являются физическое время и прямоугольные координаты. Все остальные СКВ для данной системы отсчёта выражаются через них.
Так вот для равномерно ускоренной СО её выделенная метрика (которую я в предыдущем посте назвал просто метрикой) конечно известна и это метрика Мёллера. Другое дело неравномерно ускоренная. Там такую выделенную метрику тоже без проблем можно ввести на близких расстояниях от наблюдателя. Но для больших расстояний как это сделать мне непонятно.
Можно конечно сказать (как обычно и говорится), что в СТО нет выделенных СКВ. Однако необходимо всё равно как то установить соответствие между данной системой отсчёта и некой произвольной СКВ. Это означает, что данная СО ограничивает произвол выбора СКВ в её рамках. Вот скажем систему Ваших раздувающихся координат и физическое время ЛИСО на мой взгляд нельзя признать неинерциальной системой отсчёта. В итоге я думаю мы придём к признанию существования выделенных СКВ для данной СО.
Ну в общем это отдельная тема для дискуссий, которая здесь наверное неуместна.


Как по Вашему существует ли выделенная СКВ в неравномерно ускоренной системе отсчёта?
То есть такая СКВ через которую выражаются все остальные СКВ данной СО.
Добавлено спустя 17 минут 43 секунды:

epros писал(а):

Не понимаю, зачем это всё? Кому это может быть нужно?
Для равноускоренного стержня имеет смысл определять отношение промежутков времени по часам на его концах, измеренное в его СО (она и задаётся координатами Мёллера). А сравнивать показания двух разным образом движущихся часов посредством их синхронизации по третьим часам... По-моему, это извращение какое-то.

Ну почему же? Мы с Вами как наблюдатели не движемся никуда вместе со стержнем и если нам возникла фантазия узнать какова скажем в длинной ракете которая пролетает мимо нас на корме и на носу разность времени то мы это сделаем. Пример конечно нереальный
а жаль.... А помните как на форуме Теория относительности Влад, Вы и Пью Чай Ли рассчитывали ту же разность показаний для малого стержня? Тогда у Вас это не вызывало недовольства.....
Впрочем посторонним людям, то чем мы с Вами занимаемся наверное тоже покажется извращением...

Цитата:

Добавлено спустя 6 минут 29 секунд:

epros писал(а):

Вы вообще о чём? Координаты Мёллера - это координаты системы отсчёта, связанной с жёстким равноускоренным стержнем (т.е. в этих координатах все точки стержня покоятся). Метрика в этих координатах имеет вид: $g_{t t} = \frac{x^2}{x^2_0}$, $g_{x x} = g_{y y} = g_{z z} = -1$, все недиагональные члены - нулевые. Эта СО является статической, потому что:
1. Компоненты метрики не зависят от времени.
2. Смешанные (пространственно-временные) компоненты метрики равны нулю.
(таково определение статической СО).

Видите ли в неравномерно ускоренной СО для каждого малого промежутка времени наверное тоже можно пользоваться каждой сопутствующей системой равномерно ускоренных стержней как системой координат. Возникает правда вопрос а можно ли назвать это всё ещё неравномерно ускоренной системой.

[epros]

В. Войтик писал(а):

эти системы на самом деле физически неравноправны.

Что значит "физически неравноправны"? Для ОТО все СО равноправны.

В. Войтик писал(а):

То есть обычно какая-то новая экзотическая система координат и времени выражается через прямоугольные координаты и физическое время ЛИСО.

Это только если Вам кто-то принесёт готовую сетку координат лабораторной ИСО на блюдечке с голубой каёмочкой. В реальной жизни на достаточно больших масштабах никаких ИСО построить не удастся.

В. Войтик писал(а):

Такие координаты и время ЛИСО являются физически выделенными в том смысле, что интервал в такой инерциальной системе отсчёта является известной комбинацией их квадратов.

В любой координатной сетке квадрат дифференциала интервала выражается квадратичной формой по дифференциалам координат. Если Вам из всех представлений квадратичной формы больше нравится именно каноническое, то это только вопрос вкуса.

В. Войтик писал(а):

под системой отсчёта я понимаю некоторое точечное тело на котором находится наблюдатель

И это неправильно. Потому что СО задаётся совокупностью тел отсчёта, заполняющих всю интересующую нас область пространства. В точке и "отсчитывать"-то нечего...

В. Войтик писал(а):

У меня есть одно предположение, что для каждой системы отсчёта ... существует такая выделенная система координат и времени(СКВ).

Какая "такая"? По большому счёту, СО - это и есть система координат пространства и времени.

В. Войтик писал(а):

Для равномерно ускоренной СО такими координатами являются физическое время и прямоугольные координаты.

Что такое "физическое время"? И каким образом оно, по-Вашему, задаёт координату времени сразу во всех точках, которые мы рассматриваем? Не забывайте, что ускоряющийся стержень - отнюдь не точечный объект, и в каждой его точке можно поместить совершенно отдельные и притом вполне "физические" часы.

В. Войтик писал(а):

Так вот для равномерно ускоренной СО её выделенная метрика (которую я в предыдущем посте назвал просто метрикой) конечно известна и это метрика Мёллера.

Если Вы "выделенной" называете метрику, приведённую к каноническому виду, то хочу Вам заметить, что в координатах Мёллера метрика отнюдь не имеет канонического вида. А именно, её компонента $g_{t t}$ отличается от единицы. Точнее, она равна единице только в плоскости $x=x_0$ - там, где находятся эталонные часы, по которым отсчитывается координата времени для всей СО.

В. Войтик писал(а):

Другое дело неравномерно ускоренная. Там такую выделенную метрику тоже без проблем можно ввести на близких расстояниях от наблюдателя. Но для больших расстояний как это сделать мне непонятно.

Вокруг любого наблюдателя можно построить координатную сетку, которая будет определять СО его покоя. Причём сделать это можно множеством различных способов. Какую из них Вы полагаете "выделенной"?

В. Войтик писал(а):

Однако необходимо всё равно как то установить соответствие между данной системой отсчёта и некой произвольной СКВ. Это означает, что данная СО ограничивает произвол выбора СКВ в её рамках.

Я не понимаю, чего Вы хотите. Определить способ построения координатной сетки СО покоя произвольного наблюдателя, который давал бы однозначный результат, причём:
1) координата времени соответствовала бы показаниям часов наблюдателя, т.е. любые, в том числе и удалённые (от наблюдателя) события были бы синхронизированы с показаниями его часов,
2) каждая пространственная координата соответствовала бы расстоянию до наблюдателя, измеренному в заданный момент,
3) да ещё бы и пространственные оси были бы ортогональны?
Т.е. чтобы было "похоже" на ту однозначность, которую мы имеем, строя в пространстве Минковского ИСО (вокруг некоего инерциального наблюдателя)?

Так это можно. Только, как правило, это никому не нужно...

В. Войтик писал(а):

Вот скажем систему Ваших раздувающихся координат и физическое время ЛИСО на мой взгляд нельзя признать неинерциальной системой отсчёта.

Это почему же? По крайней мере в некоторой области пространства-времени эту координатную сетку вполне можно реально смоделировать с помощью совокупности тел отсчёта и процедуры синхронизации между ними.

В. Войтик писал(а):

Ну почему же? Мы с Вами как наблюдатели не движемся никуда вместе со стержнем и если нам возникла фантазия узнать какова скажем в длинной ракете которая пролетает мимо нас на корме и на носу разность времени то мы это сделаем.

В том то и дело, что речь идёт не о времени (по часам данного наблюдателя), а о сравнении промежутков времени, отмеренных двумя часами, двигавшимися разным образом. К тому же выделенная позиция этого наблюдателя делает эту задачу сразу неинтересной: Кто он такой, чтобы определять одновременность именно по его понятиям? Пуп Земли, "абсолютная система отсчёта"?

В. Войтик писал(а):

Видите ли в неравномерно ускоренной СО для каждого малого промежутка времени наверное тоже можно пользоваться каждой сопутствующей системой равномерно ускоренных стержней как системой координат. Возникает правда вопрос а можно ли назвать это всё ещё неравномерно ускоренной системой.

Не понимаю я Ваших проблем... Можно пользоваться любой системой координат. Вопрос только в том, какие из них Вас устраивают, а какие нет (и почему).

[В. Войтик]

epros писал(а):

Что значит "физически неравноправны"? Для ОТО все СО равноправны.

Да, конечно... Просто выбор конкретной СО ограничивает выбор СКВ, который можно сопоставить данной СО.

epros писал(а):

Это только если Вам кто-то принесёт готовую сетку координат лабораторной ИСО на блюдечке с голубой каёмочкой. В реальной жизни на достаточно больших масштабах никаких ИСО построить не удастся.

Да, разумеется это идеализация.

epros писал(а):

Такие координаты и время ЛИСО являются физически выделенными в том смысле, что интервал в такой инерциальной системе отсчёта является известной комбинацией их квадратов.
В любой координатной сетке квадрат дифференциала интервала выражается квадратичной формой по дифференциалам координат. Если Вам из всех представлений квадратичной формы больше нравится именно каноническое, то это только вопрос вкуса.

Лично мне нравится для данной СО произвольная СКВ, за тем однако исключением, что в непосредственной окрестности наблюдателя "временная" линия будет совпадать с касательной к его мировой линии, а "координатные" линии будут перпендикулярны и ей. Других требований вне окрестности я не налагаю.

epros писал(а):

В. Войтик писал(а):

под системой отсчёта я понимаю некоторое точечное тело на котором находится наблюдатель

И это неправильно. Потому что СО задаётся совокупностью тел отсчёта, заполняющих всю интересующую нас область пространства. В точке и "отсчитывать"-то нечего...

epros писал(а):

В. Войтик писал(а):

У меня есть одно предположение, что для каждой системы отсчёта ... существует такая выделенная система координат и времени(СКВ).

Какая "такая"? По большому счёту, СО - это и есть система координат пространства и времени.

В этом отношении я безнадёжный альтернативщик (точнее комплементарщик)...

epros писал(а):

Что такое "физическое время"? И каким образом оно, по-Вашему, задаёт координату времени сразу во всех точках, которые мы рассматриваем? Не забывайте, что ускоряющийся стержень - отнюдь не точечный объект, и в каждой его точке можно поместить совершенно отдельные и притом вполне "физические" часы..

Я имел ввиду физическое время наблюдателя, которое является координатным временем ускоренной СО. Физические часы помещённые в разных точках пространства ускоренной СО не дадут её координатное время.

epros писал(а):

Если Вы "выделенной" называете метрику, приведённую к каноническому виду, то хочу Вам заметить, что в координатах Мёллера метрика отнюдь не имеет канонического вида.

Вот математический вид выделенной метрики я и сам толком не знаю

epros писал(а):

А именно, её компонента $g_{t t}$ отличается от единицы. Точнее, она равна единице только в плоскости $x=x_0$ - там, где находятся эталонные часы, по которым отсчитывается координата времени для всей СО.

Всё правильно, только я бы сказал "...в плоскости $x=0$."

epros писал(а):

Вокруг любого наблюдателя можно построить координатную сетку, которая будет определять СО его покоя. Причём сделать это можно множеством различных способов. Какую из них Вы полагаете "выделенной"?

Обычные прямоугольные 3-координаты, которые физически задаются МСИСО.

epros писал(а):

Я не понимаю, чего Вы хотите. Определить способ построения координатной сетки СО покоя произвольного наблюдателя, который давал бы однозначный результат, причём:
1) координата времени соответствовала бы показаниям часов наблюдателя, т.е. любые, в том числе и удалённые (от наблюдателя) события были бы синхронизированы с показаниями его часов,
2) каждая пространственная координата соответствовала бы расстоянию до наблюдателя, измеренному в заданный момент,
3) да ещё бы и пространственные оси были бы ортогональны?
Т.е. чтобы было "похоже" на ту однозначность, которую мы имеем, строя в пространстве Минковского ИСО (вокруг некоего инерциального наблюдателя)?
Так это можно. Только, как правило, это никому не нужно....

Да-да, именно. Удивительно точно сформулировали. Вы меня прекрасно поняли.
И метрика в такой СКВ для ускоренно движущегося наблюдателя с собственным ускорением изменяющимся по закону $W(t)$ будет

$$ds^2=(1+W(t)x)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$$

?
А как же тогда быть с близкодействием? Метрика-то не запаздывает...

epros писал(а):

В. Войтик писал(а):

Вот скажем систему Ваших раздувающихся координат и физическое время ЛИСО на мой взгляд нельзя признать неинерциальной системой отсчёта.

Это почему же? По крайней мере в некоторой области пространства-времени эту координатную сетку вполне можно реально смоделировать с помощью совокупности тел отсчёта и процедуры синхронизации между ними.

Так ведь наблюдатель-то в результате замены остаётся на месте на теле отсчёта. Если бы новая замена СКВ приводила к движению или вращению осей системы координат относительно старой декартовой, то это была бы новая система отсчёта. А если оси СК вблизи наблюдателя те же самые, то наверное это старая добрая ЛИСО.

epros писал(а):

В том то и дело, что речь идёт не о времени (по часам данного наблюдателя), а о сравнении промежутков времени, отмеренных двумя часами, двигавшимися разным образом. К тому же выделенная позиция этого наблюдателя делает эту задачу сразу неинтересной: Кто он такой, чтобы определять одновременность именно по его понятиям? Пуп Земли, "абсолютная система отсчёта"?

А вот сравните эту задачку с определением длины движущегося стержня. В этой задаче также речь идёт о сравнении координат двух концов двигавшихся разным образом по линейке ЛИСО. Но наша выделенная позиция как наблюдателей нас не беспокоит.
К тому же я ведь уже сказал, что я особо не ценю эту задачку. И написал заметку в том числе для того, чтобы привлечь Ваше внимание к совпадению точного результата в случае малого стержня для полученного ранее.

epros писал(а):

Не понимаю я Ваших проблем... Можно пользоваться любой системой координат. Вопрос только в том, какие из них Вас устраивают, а какие нет (и почему).

Уважаемый epros. У меня всё запущено...., а тема эта спорная особенно по геометрии и я в общем не рассчитывал пока о ней говорить.

[epros]

В. Войтик писал(а):

Просто выбор конкретной СО ограничивает выбор СКВ, который можно сопоставить данной СО.

Не понимаю я этого набора слов.

В. Войтик писал(а):

...в непосредственной окрестности наблюдателя "временная" линия будет совпадать с касательной к его мировой линии,

Если это СО покоя наблюдателя, то его мировая линия будет совпадать с осью времени.

В. Войтик писал(а):

а "координатные" линии будут перпендикулярны и ей.

Ортогональность (в смысле метрики) пространственных осей к оси времени - это требование локальной синхронности СО.

В. Войтик писал(а):

В этом отношении я безнадёжный альтернативщик (точнее комплементарщик)...

Даже не могу представить какая тут возможна альтернатива. Чтобы начать хоть что-то "отсчитывать", нужно для начала определить пространственные и временные координаты всех интересующих нас событий, т.е., собственно, и провести координатную сетку.

В. Войтик писал(а):

Я имел ввиду физическое время наблюдателя, которое является координатным временем ускоренной СО. Физические часы помещённые в разных точках пространства ускоренной СО не дадут её координатное время.

А часы наблюдателя каким образом дадут координатное время в удалённых от него точках?

В. Войтик писал(а):

Всё правильно, только я бы сказал "...в плоскости $x=0$."

В тех координатах, для которых я выписывал Вам компоненты метрики, в плоскости $x=0$ находится горизонт. Но, конечно же, всегда можно сдвинуть координату $x$. Хотя это неудобно, но если Вам так хочется...

В. Войтик писал(а):

Обычные прямоугольные 3-координаты, которые физически задаются МСИСО.

"Прямоугольные" - это имеется в виду ортогональные между собой (по крайней мере в точке нахождения наблюдателя)? А "задаются МСИСО" это имеется в виду, что они ортогональны также и к мировой линии наблюдателя (требование локальной синхронности)?

Таких координат можно построить множество.

В. Войтик писал(а):

Да-да, именно. Удивительно точно сформулировали. Вы меня прекрасно поняли.

Главное, чтобы Вы сами поняли чего хотите. И зачем.

В. Войтик писал(а):

И метрика в такой СКВ для ускоренно движущегося наблюдателя с собственным ускорением изменяющимся по закону $W(t)$ будет

$$ds^2=(1+W(t)x)^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$$

?
А как же тогда быть с близкодействием? Метрика-то не запаздывает...

В "такой" системе координат (как я описал) на мировой линии наблюдателя метрика будет равна $ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$, поскольку координатное время отсчитывается часами этого наблюдателя, а пространственные координаты определяются расстояниями по пространственным осям.

В. Войтик писал(а):

Так ведь наблюдатель-то в результате замены остаётся на месте на теле отсчёта. Если бы новая замена СКВ приводила к движению или вращению осей системы координат относительно старой декартовой, то это была бы новая система отсчёта. А если оси СК вблизи наблюдателя те же самые, то наверное это старая добрая ЛИСО.

Ничего не понимаю. Что за "старая декартова" система координат, откуда Вы её взяли? Если ось времени совпадает с мировой линией наблюдателя, то это - система покоя данного наблюдателя. Но если сам наблюдатель движется не по инерции, то это отнюдь не ИСО.

[Munin]

В. Войтик в сообщении #184009 писал(а):

То есть с 1943 г по 63 год?

При чём тут 1943 год?

[В. Войтик]

Munin писал(а):

При чём тут 1943 год?

Ранее 43 года нет смысла смотреть, т. к. преобразования Мёллера (метрика Мёллера) описывающая движение твёрдого тела была представлена в статье 1943 года.

[Munin]

В. Войтик в сообщении #184655 писал(а):

Ранее 43 года нет смысла смотреть, т. к. преобразования Мёллера (метрика Мёллера) описывающая движение твёрдого тела была представлена в статье 1943 года.

Ошибаетесь. Имеет смысл, поскольку эти преобразования появились в итоге предшествующего обсуждения. Кстати, неверно их называть метрикой.

[MOPO3OB]

Цитата:

Предлагаемый ответ пока здесь

странно, а чем плохо решение Эйнштейна? (1907 г.)

[Лиля]

В. Войтик в сообщении #183553 писал(а):

Задача состоит в том, чтобы рассчитать разность разность показаний покоящихся часов расположенных на равномерно ускоренном стержне ориентированном по направлению своего прямолинейного движения. Предполагается, что часы синхронизируются в один начальный момент времени по часам лабораторной инерциальной системы отсчёта. В любой другой момент показания будут отличаться. Какова разность этих показаний?

ИМХО разница на часах будет равна времени необходимому свету чтоб преодолеть расстояние между часами и наблюдателем

[В. Войтик]

MOPO3OB писал(а):

странно, а чем плохо решение Эйнштейна? (1907 г.)

Эйнштейн рассматривал наблюдателя всё время покоящегося в т. А на ускоренном стержне АВ.
Тогда можно показать, что в т. В. физические часы идут в $1+Wx$ раз быстрее чем часы в т. А.
Или интегрируя получим разность показаний часов А и В в некоторый момент времени времени по часам т. А в эйнштейновской задаче равное

$$\tau={x} \int_{0}^{t_A}W(t)dt$$

Задача же поставлена по-другому. Мы рассматриваем рассогласование часов относительно покоящейся лабораторной ИСО в один момент по часам ЛИСО.

Добавлено спустя 27 минут 26 секунд:

Лиля писал(а):

ИМХО разница на часах будет равна времени необходимому свету чтоб преодолеть расстояние между часами и наблюдателем

Наблюдатель в условии задачи предполагается покоящимся в ЛИСО. Видимо Вы в ответе посчитали, что наблюдатель покоится на ускоренном стержне в т. А. Если условие задачи сделать эйнштейновским (т.е. измерение разности показаний часов по часам т. А), то Ваше утверждение нетрудно проверить.Пусть имеем для простоты равноускоренную систему
Имеем распространение света (с=1)

$$ds^2=0$$

значит

$$(1+Wx)dt=dx$$

следовательно поделив на $1+Wx$ и проинтегрировав получим

$$t=\frac {ln(1+Wx)} W$$

То есть эта величина несколько меньше чем х. Насколько я понимаю - она называется радарным расстоянием.У Эйнштейна, же разность показаний часов увеличивается с ростом времени (см. выше). Поэтому Ваше предположение неверно.

[В. Войтик]

Вот решил перечитать нашу дискуссию с епросом. Это конечно вне темы, но может быть модераторы простят..., не я её начал.

epros писал(а):

Не понимаю я этого набора слов.

Напомню. Под стандартным ковариантным понятием системы отсчёта понимаются часы и линейки распределённые в пространстве наподобие некоторой среды. Это есть понятие системы отсчёта в Эйлеровском смысле. Можно однако понимать систему отсчёта как наблюдателя находящегося на точечном теле отсчёта. Это (как говорил Мицкевич) монадное представление или фактически система отсчёта по Лагранжу. Кстати по этому поводу есть интересная книжка Владимирова про системы отсчёта.(спасибо Мунину ). В последние годы концепцией такой системы отсчёта занимается множество физиков: Николич, Альба, Тарталья, Машхун и др.
Так вот, я отвлёкся. Наблюдатель имеет тоже систему координат и систему часов. Система координат - времени не имеет ничего общего с системой отсчёта. Единственное условие ограничивающее выбор СКВ в данной СО: в ближайшей окрестности наблюдателя стандартные линейки и часы должны покоится. Это условие понятно т.к. сам наблюдатель жёстко скреплён с телом отсчёта. Линейки и часы могут двигаться вдали от него. Вот только в этом смысле выбор СО ограничивает выбор СКВ.
Далее: если система координат реализуемая жёстким линейками и неподвижными координатными часами будет везде покоится относительно наблюдателя, то её метрика будет для равноускоренной системы отсчёта как известно Мёллеровской :

$$ds^2=(1+\mathbf{W} \mathbf{r})^2dt^2-d\mathbf{r}^2$$

(1)
Эта метрика как видите имеет относительно простой вид. Если же в данной СО линейки и часы вдали от наблюдателя нестандартные,

$$t=t(T,R), \mathbf{r}=\mathbf{r}(\mathbf{R},T) $$

(2)
то в такой СКВ метрика данной ускоренной СО может быть найдена подстановкой (2) в (1). Метрика может быть весьма сложной, но это тем не менее метрика первоначальной ускоренной системы отсчёта. Поэтому метрика (1) имеет для меня фундаментальный смысл.
Все остальные метрики выражаются именно через неё. Надеюсь я понятно объяснил.
Если же рассматривать нестатическую ускоренную систему отсчёта, то поскольку абсолютно жёстких линеек не существует фундаментальная метрика (1) может вызвать сомнение в её справедливости для любого момента времени.

Уважаемый епрос. Вы столько на меня вопросов вывалили, что я честно говоря растерялся.
Если у Вас остался интерес, то давайте будем разбирать по порядку, а не сразу гуртом.

[/quote]

[epros]

В. Войтик писал(а):

Под стандартным ковариантным понятием системы отсчёта понимаются часы и линейки распределённые в пространстве наподобие некоторой среды. Это есть понятие системы отсчёта в Эйлеровском смысле.

Замечательно. Вот давайте на этом и остановимся как на "стандартном" понятии.

В. Войтик писал(а):

Можно однако понимать систему отсчёта как наблюдателя находящегося на точечном теле отсчёта. Это (как говорил Мицкевич) монадное представление или фактически система отсчёта по Лагранжу.

Иногда так понимают, но это неудачный выбор, поскольку в таком случае СО получается заведомо локальной, ибо сам наблюдатель - локальный объект.

В. Войтик писал(а):

Наблюдатель имеет тоже систему координат и систему часов.

Что Вы имеете в виду под системой координат, которую имеет наблюдатель? Как Вы определите координаты удалённого события?

В. Войтик писал(а):

Система координат - времени не имеет ничего общего с системой отсчёта.

Что противоречит первому процитированному куску. Просто Вы забыли его продолжить - остановились на том, что СО - это совокупность линеек и часов, но забыли сказать о том, как с ними связываются координаты.

В. Войтик писал(а):

Единственное условие ограничивающее выбор СКВ в данной СО: в ближайшей окрестности наблюдателя стандартные линейки и часы должны покоится. Это условие понятно т.к. сам наблюдатель жёстко скреплён с телом отсчёта. Линейки и часы могут двигаться вдали от него. Вот только в этом смысле выбор СО ограничивает выбор СКВ.

На самом деле все эти линейки и часы - это всё тела отсчёта (а наблюдатель - одно из них). И все они должны быть связаны с фиксированными пространственными координатами.

В. Войтик писал(а):

Если же в данной СО линейки и часы вдали от наблюдателя нестандартные,

$$t=t(T,R), \mathbf{r}=\mathbf{r}(\mathbf{R},T) $$

(2)

Часы и линейки не должны быть "нестандартными". Они должны соответствовать понятию эталона. В частности, сегодняшний международно принятый эталон времени - период излучения цезия. А эталон расстояния - путь, проходимый светом за единицу времени.

В. Войтик писал(а):

то в такой СКВ метрика данной ускоренной СО может быть найдена подстановкой (2) в (1). Метрика может быть весьма сложной, но это тем не менее метрика первоначальной ускоренной системы отсчёта. Поэтому метрика (1) имеет для меня фундаментальный смысл.
Все остальные метрики выражаются именно через неё.

Вот поэтому Вы и путаетесь. Ваша метрика показывает ход каких-то непонятных "нестандартных" часов, а должна показывать локальное время (стандартное!) в расчёте на единицу изменения координат.

[В. Войтик]

epros писал(а):

В. Войтик писал(а):

Можно однако понимать систему отсчёта как наблюдателя находящегося на точечном теле отсчёта. Это (как говорил Мицкевич) монадное представление или фактически система отсчёта по Лагранжу.

Иногда так понимают, но это неудачный выбор, поскольку в таком случае СО получается заведомо локальной, ибо сам наблюдатель - локальный объект.
Что Вы имеете в виду под системой координат, которую имеет наблюдатель? Как Вы определите координаты удалённого события?

По-моему у Владимирова есть замечательный пример с Землёй как примером монадной системы. Вы считаете, что такая СО заведомо локальна, т.к. наблюдатель - локальный объект. Да, конечно. Но в чём же это является недостатком? Наверное с Вашей точки зрения в том, что у такого наблюдателя нет всей совокупности приборов, находящихся в удалённых от него точках пространства? Но если придерживаться такой точки зрения, то мы например не могли бы описывать движение звезды относительно Земли, ведь звёзд мы ещё не достигли.
Фактически же локальному (монадному) наблюдателю этих приборов и не надо. Ему достаточно
1) измерить собственные характеристики малой прилегающей области, в которой он находится. Получаются некоторое собственное ускорение $W$ и собственная угловая скорость $\omega$.
2) из всей совокупности инерциальных СО для каждого собственного промежутка времени $delta t$ выбирать мгновенно сопутствующую ИСО, то есть пользоваться в каждый момент собственного времени линейками падающими относительно себя из состояния покоя.
и наконец
3) Провести расчёт. Пусть для простоты у наблюдателя в т. О $omega=0$, $W=const$ и нам требуется определить расстояние до какой-либо неподвижной точки А лежащей по направлению ускорения. Пользуемся несколько модифицированным радиолокационным методом Пуанкаре-Эйнштейна. Время туда

$$t_{OA}=\frac{ln(1+xW_O)}{W_O}$$

Собственное ускорение т. А есть

$$W_A=\frac{W_O}{1+xW_O}$$

время обратно относительно т. А

$$t_{AO}=\frac{|ln(1-xW_A)|}{W_A}$$

Это же время относительно т. О будет

$$t_{AO}=\frac{|ln(1-xW_A)|}{(1+xW_O)W_A}$$

На опыте нам будет известна величина $t$ т. е."время туда + время обратно". Составляем уравнение

$$t=t_{OA}+t_{AO}$$

Нам требуется его решить относительно неизвестного х. Ответ есть следующий

$$x=\frac{e^{Wt/2}-1}{W}$$

, (1)
Таким образом наблюдатель всегда может определить расстояние по крайней мере вдоль направления собственного постоянного ускорения. В принципе (хотя соответствующие уравнения непросты) я думаю, что также возможно определить расстояние в любым образом ускоренной и вращающейся системе отсчёта.
Остаётся ещё вопрос с собственным временем tau в удалённой точке СО. Он решается известным образом

$$\tau=(1+Wx)t$$

, (2),
где $t$ собственное время наблюдателя.Таким образом вполне можно даже не имея в удалённой точке приборов определить их показания. С развитием техники я думаю будет возможно проверить и экспериментально уравнения (1). Уравнение (2) уже проверено.

epros писал(а):

В. Войтик писал(а):

Система координат - времени не имеет ничего общего с системой отсчёта.

Что противоречит первому процитированному куску. Просто Вы забыли его продолжить - остановились на том, что СО - это совокупность линеек и часов, но забыли сказать о том, как с ними связываются координаты.

Нисколько не противоречит. В лагранжевском смысле система отсчёта характеризуется всего двумя векторными характеристиками: собственным ускорением и собственным вращением наблюдателя. Система координат и времени не имеет к этому отношения. Её можно всегда изменить. Ясно, что система отсчёта при этом измениться не должна. Она и не меняется.
В эйлеровском смысле используются обобщённые 4-координаты. Их физическая реализация с помощью некоторой среды вообще говоря может привести к движению этой среды относительно покоящегося лабораторного наблюдателя даже вблизи него. Можно выбрать такую систему отсчёта, что вблизи наблюдателя эта среда не двигалась и не вращалась в каком-то смысле, но она может двигаться вдали от него. Это движение среды вдали от наблюдателя нас не особенно волнует, так как всегда возможно выбрать такое преобразование
$X=X(x,t) , T=T(x,t)$, (Т,Х-время и координаты эйлеровской среды, t,x-время, координаты мгновенно сопутствующей наблюдателю ИСО), что получившаяся метрика будет метрикой Мёллера - Нэлсона. Наглядно можно так сказать
Рыбак сидит на берегу смотрит на воду. Движение воды это стандартная эйлеровская ковариантная СО.
Рыбак плывёт на лодке с водой. Лодка - это СО по Лагранжу. Движение воды относительно лодки конечно тоже эйлеровское, но вдали от лодки.
Движение лодки - это движение описываемое Мёллером (и Нэлсоном).
То есть
Эйлер=Мёллер(Нэлсон)+Лагранж

epros писал(а):

На самом деле все эти линейки и часы - это всё тела отсчёта (а наблюдатель - одно из них). И все они должны быть связаны с фиксированными пространственными координатами.

Ну на мой взгляд не обязательно. Я за дуализм.

epros писал(а):

Часы и линейки не должны быть "нестандартными". Они должны соответствовать понятию эталона. В частности, сегодняшний международно принятый эталон времени - период излучения цезия. А эталон расстояния - путь, проходимый светом за единицу времени.

Ну в общем-то да - расстояния принято измерять в метрах. Но наверное неправильно не доверять скажем англичанам в поставленных ими опытах, если они пользуются английскими линейками измеряющими расстояния в дюймах. А в России например до революции измеряли в вершках . Для этого есть определённый коэффициент пересчёта. Мы рассматриваем общий случай (эйлеровское движение), когда этот коэффициент изменяется и во времени, и в пространстве (Англия, Россия). Аналогично обстоит со временем.

epros писал(а):

Вот поэтому Вы и путаетесь. Ваша метрика показывает ход каких-то непонятных "нестандартных" часов, а должна показывать локальное время (стандартное!) в расчёте на единицу изменения координат.

Ну ПМСМ я не путаюсь. С помощью данной метрики

$$ds^2=(1+Wx)^2dt^2-dx^2$$

и возможно определить локальное время в данной точке пространства неподвижной относительно наблюдателя. Это просто:

$$d\tau=(1+Wx)dt$$

в обычных мгновенно сопутствующих координатах МСИСО. Подстановка
$x=x(X,T) , t=t(X,T)$ сюда даёт собственное время в эйлеровских ковариантных координатах той же точки пространства неподвижной относительно наблюдателя, но не связанной с точкой движущейся среды, как наверное Вы считаете. Поэтому у нас и разногласие.