Система образующих группы

[gris]

Насчёт несоизмеримости я ошибся и сразу удалил своё сообщение. Например, в группе $\mathbb Z$ могут быть такие системы образующих: $\{2;3\}, \quad \{6; 10;15\}, \quad \{42; 30; 70;105\}$.
Отсюда следует, что в любой не всюду плотной группе существует конечная система образующих ( см. сообщение neo66)

[bot]

Первым делом пришло в голову естественно это

Someone в сообщении #183679 писал(а):

Множество всех элементов подгруппы, вне всякого сомнения, является системой образующих. Берём $\mathbb Z$

а потом уже, что имел в виду топикстартер.

[Mikhail Sokolov]

gris, я вас не понял (удаленное вами собщение я не видел). Вы считате, что утверждение

Mikhail Sokolov писал(а):

если система образующих группы $A$ содержит хотя бы два "независимых" элемента $a_1$ и $a_2$, то они с необходимостью несоизмеримы (т.е. $a_1/a_2$ - число иррациональное) и значит $A$ всюду плотна в $R$.

неверно?

Если ранг системы образующих больше или равен двум, то в ней найдется хотя бы 2 линейно независимых элемента. А линейная независимость как раз и означает их несоизмеримость.

[gris]

Может быть стоит тогда дать определение системы образующих группы? Что такое независимые элементы?

В группе $\mathbb Z$ существует система образующих $\{2;3\}$ разве нет? Но они соизмеримы.

Если под зависимостью понимать существование ненулевой целочисленной линейной комбинации не равной 0, тогда да.
(умножение понимается как кратное сложение. Мы же об аддитивных группах говорим)
Но тогда получается, что любая группа, в которой существует хотя бы два независимых образующих элемента, будет всюду плотна в $\mathbb R$.
С этим я согласен. Но в первоначальной постановке задаче не было слов минимальная система или независимая система. Мне кажется, что всем уже всё ясно.

Я просто написал несколько сообщений, которые мне показались необоснованными, поэтому я их почти сразу поудалял. А тема интересная! Может быть у Вас появятся еще какие-нибудь задачи из этой серии?

[Mikhail Sokolov]

Да, вы правы, условие надо было сформулировать четче. Просто я до сего момента думал, что в систему образующих только независимые элементы и входят.
Под "независимостью" и "рангом" выше понималось вот это.