2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение05.02.2009, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Насчёт несоизмеримости я ошибся и сразу удалил своё сообщение. Например, в группе $\mathbb Z$ могут быть такие системы образующих: $\{2;3\}, \quad \{6; 10;15\}, \quad \{42; 30; 70;105\}$.
Отсюда следует, что в любой не всюду плотной группе существует конечная система образующих ( см. сообщение neo66)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2009, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Первым делом пришло в голову естественно это
Someone в сообщении #183679 писал(а):
Множество всех элементов подгруппы, вне всякого сомнения, является системой образующих. Берём $\mathbb Z$

а потом уже, что имел в виду топикстартер.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2009, 13:07 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
gris, я вас не понял (удаленное вами собщение я не видел). Вы считате, что утверждение
Mikhail Sokolov писал(а):
если система образующих группы $A$ содержит хотя бы два "независимых" элемента $a_1$ и $a_2$, то они с необходимостью несоизмеримы (т.е. $a_1/a_2$ - число иррациональное) и значит $A$ всюду плотна в $R$.

неверно?

Если ранг системы образующих больше или равен двум, то в ней найдется хотя бы 2 линейно независимых элемента. А линейная независимость как раз и означает их несоизмеримость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2009, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Может быть стоит тогда дать определение системы образующих группы? Что такое независимые элементы?

В группе $\mathbb Z$ существует система образующих $\{2;3\}$ разве нет? Но они соизмеримы.

Если под зависимостью понимать существование ненулевой целочисленной линейной комбинации не равной 0, тогда да.
(умножение понимается как кратное сложение. Мы же об аддитивных группах говорим)
Но тогда получается, что любая группа, в которой существует хотя бы два независимых образующих элемента, будет всюду плотна в $\mathbb R$.
С этим я согласен. Но в первоначальной постановке задаче не было слов минимальная система или независимая система. Мне кажется, что всем уже всё ясно.

Я просто написал несколько сообщений, которые мне показались необоснованными, поэтому я их почти сразу поудалял. А тема интересная! Может быть у Вас появятся еще какие-нибудь задачи из этой серии?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2009, 14:01 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Да, вы правы, условие надо было сформулировать четче. Просто я до сего момента думал, что в систему образующих только независимые элементы и входят.
Под "независимостью" и "рангом" выше понималось вот это.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group