Задача на непрерывность

[ewert]

Нет, не так. "Не существует непрерывной функции, для которой на любом уровне количество пересечений было бы конечным и притом чётным".

[gris]

Ежели функция на концах отрезка принимает разные значения, то достаточно взять прямую, которая лежит между ними и не проходит ни через один экстремум. Нечётность пересечений очевидна из топологических соображений.

[id]

Хм, да, действительно.

Тогда может поднять прямую изначально до уровня максимального локального минимума?
А, нет, снова глупость.

[gris]

То есть
Для любой непрерывной на отрезке функции существует такое $C$, что уравнение $f(x)=C$ имеет нечётное или бесконечное число корней?

[ewert]

Всё бы ничего, но: а) что такое "экстремум"? и потом б) откуда следует, что такая прямая существует?

[gris]

Хотя есть непрерывные функции с бесконечным числом экстремумов.
$f(0) =0$ $f(x)= x^2\sin {\frac{\pi} {x}}$

И такую штуку можно организовать во множестве точек...

А если ещё рассматривать почти ступенчатые функции...
То есть теорема Лагранжа тут не поможет. А может как нибудь "по-топологически" искать доказательство?

[Brukvalub]

Nimza в сообщении #183659 писал(а):

Рассматриваются:
1) непрерывная функция \[y = f(x)\], определенная на отрезке \[ [0;1] \].
2) семейство прямых \[y = const\].

Как доказать, что не существует такой функции \[ f \], для которой график функции имеет с любой прямой семейства чётное число общих точек?

Brukvalub в сообщении #183671 писал(а):

Интересно, а бесконечное число точек пересечения - это нечетное число?

Я ведь не зря спросил про бесконечное число точек пересечения. Интересно, как быть с постоянными функциями?
Тут одно из двух: либо они дают контрпример, либо континуум является нечетным числом!

[ewert]

Brukvalub в сообщении #183760 писал(а):

Я ведь не зря спросил про бесконечное число точек пересечения.

Зря. Чётность подразумевает конечность.

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

gris писал(а):

То есть
Для любой непрерывной на отрезке функции существует такое $C$, что уравнение $f(x)=C$ имеет нечётное или бесконечное число корней?

А вот это -- одна из возможных правильных переформулировок.

[gris]

Я подумал, что в следующей формулировке задачу будет решить проще:

На отрезке $[0;1]$ определена функция $f(x): \forall C \quad f(x) = C $ имеет конечное чётное число решений (или не имеет решений). Доказать, что функция $f(x)$ разрывна.

[ewert]

gris в сообщении #183750 писал(а):

Ежели функция на концах отрезка принимает разные значения, то достаточно взять прямую, которая лежит между ними и не проходит ни через один экстремум. Нечётность пересечений очевидна из топологических соображений.

Да, это верно, но только если доказать существование такой прямой (не проходящей ни через один экстремум). Это следует, например, из того, что множество локальных экстремумов не более чем счётно. Что, в свою очередь, верно, но не так уж и тривиально.

А вот что делать, если значения на концах совпадают -- этот вопрос остаётся открытым.

[gris]

Задача должна иметь какое-то простое решение.

Из условия следует, что не существует ни одного интервала, на котором функция постоянна.

Докажем, что количество экстремумов конечно. Предположим, что оно бесконечно. Тогда и количество экстремальных значений бесконечно, иначе будет бесконечное количество одинаковых значений, через которые можно провести горизонтальную прямую. Тогда на отрезке между глобальными минимумом и максимумом имеется предельная точка значений экстремума.

gris писал(а):

Хотя есть непрерывные функции с бесконечным числом экстремумов.
$f(0) =0$ $f(x)= x^2\sin {\frac{\pi} {x}}$

У меня, наверное, раздвоение личности началось...

[ewert]

не надо этого доказывать -- к-во точек экстремума не обязано быть конечным, достаточно поиграться со стандартным бесконечно осциллирующим синусом

[Полосин]

Общая идея: пусть функция $f(x)$ непрерывна. Для каждого $C$ обозначим синим цветом левую половину точек, в которых $f(x)=C$, и красным цветом - правую половину таких точек.
Ясно, что $0$ - синяя точка. Рассмотрим первую слева (т.е. при движении от левого конца сегмента к правому) красную точку. Любая соответствующая ей синяя точка будет внутренней, а сама она - нет - противоречие.

[ewert]

по какому конкретно признаку точки делятся на "левые" и "правые"?

(и, кстати, 0 -- вовсе, вообще говоря, бесцветная точка)

[gris]

Полосин писал(а):

Рассмотрим первую слева красную точку.

А если не существует первой?