2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Задача на непрерывность
Сообщение04.02.2009, 23:56 
Рассматриваются:
1) непрерывная функция \[y = f(x)\], определенная на отрезке \[ [0;1] \].
2) семейство прямых \[y = const\].

Как доказать, что не существует такой функции \[ f \], для которой график функции имеет с любой прямой семейства чётное число общих точек?

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 00:09 
Аватара пользователя
Интересно, а бесконечное число точек пересечения - это нечетное число? :wink:

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 00:39 
По моим релизиозным убеждениям чётность определена только у конечных чисел (в вопросе именно они и имеются ввиду %)

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 00:44 
Рассмотрите максимумы/минимумы, которые неизбежно будут между двумя точками пересечения с $y = const$, и которых будет нечетное число.

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 00:59 
id
а если \[ f \] подобна синусу на восьми периодах? То это ничуть не помогает: хоть и между любыми двумя точками пересечения будет нечётное число максимумов\минимумов, в сумме для всех точек пересечения их число чётно

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 01:04 
Предлагается постепенно поднимать прямую до следующего максимума, который по предположению не изменяет четность остатка.

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 01:20 
Да, тогда в конце концов мы проведём прямую через нечётное число точек графика. Из рисунка это понятно. Но аналитически как отличить эту прямую от остальных?

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 01:25 
id в сообщении #183695 писал(а):
Предлагается постепенно поднимать прямую до следующего максимума, который по предположению не изменяет четность остатка.

Так просто это не прокатит -- нарушение чётности может произойти как сверху, так и снизу.

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 01:29 
ewert
Быть может, если изначально провести прямую через min функции и дальше поднимать этого удастся избежать? Процедура вроде бы не так уж некорректна.

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 01:29 
Так как доказать, что такое нарушение чётности действительно будет иметь место? (двигать вверх-вниз и потом считать общие точки - это ведь только графически помогает)

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 01:57 
Почему только графически? Просто это неформальное описание процедуры.
Предположим, что сейчас на данном шаге имеет место четное пересечение с $f$ и между точками пересечения лежат максимумы, их нечетное число.
Возьмем наименьший из них, проведем через него еще одну $y=const$. Тогда четность числа оставшихся максимумов не изменится, оно останется нечетным.
Продолжим процедуру, получим противоречие.

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 09:28 
id в сообщении #183708 писал(а):
четное пересечение с и между точками пересечения лежат максимумы, их нечетное число.

Не факт, что нечётное.

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 09:45 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Интересно, а бесконечное число точек пересечения - это нечетное число? :wink:


Действительно, если функция на каком-то интервале постоянна, то что с этим делать?
Если не рассматривать такие функции, то число экстремумов будет конечным.
Прямая, которая не проходит ни через один из экстремумов, будет иметь чётное число точек пересечения.

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 09:49 
gris в сообщении #183742 писал(а):
Прямая, которая не проходит ни через один из экстремумов, будет иметь чётное число точек пересечения.

И вновь -- не факт, да к тому же и доказать надо противоположное.

(безусловно, участки постоянства и вообще бесконечные количества пересечений прямо запрещены условиями задачи)

 
 
 
 
Сообщение05.02.2009, 09:57 
Аватара пользователя
Упс. я почему-то подумал, что значения функции на концах постоянны.
Я так понял, что нужно доказать следующее:
Для любой непрерывной на отрезке функции $f(x)$ существует $C$ такое, что уравнение $f(x)=C$ имеет нечётное число корней.
Ну чтобы отойти от геометрии.
Я имел ввиду - что делать, например с функцией "из $(0;0)$ вверх - константа - вниз к $(1;0)$
Она с любой прямой имеет либо 0, либо 2, либо бесконечно много точек пересечения.

 
 
 [ Сообщений: 73 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group