Будет ли множество пустым?

[ewert]

А Вы сформулируйте формулировку. В предпоследнем Вашем посте говорилось, что элементы выкидываются счётным образом. Тогда одно из двух. Или исходное множество несчётно -- и тогда удалить все его элементы таким способом невозможно. Или счётно -- тогда при любом способе его нумерации очередной элемент будет меньше (или там больше, какая разница) хоть одного из оставшихся.

[gefest_md]

Someone
Я знаю пока только одно такое определение, для $\mathbb{N}$ и для которого нужна операция +. А $\varnothing=\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}.$

[Dialectic]

ewert писал(а):

А Вы сформулируйте формулировку. В предпоследнем Вашем посте говорилось, что элементы выкидываются счётным образом. Тогда одно из двух. Или исходное множество несчётно -- и тогда удалить все его элементы таким способом невозможно. Или счётно -- тогда при любом способе его нумерации очередной элемент будет меньше (или там больше, какая разница) хоть одного из оставшихся.

Понимаете, я не могу сделать из Вашего рассуждения какого-либо вывода. Да, у нас счётное множество, да мы выкидываем не все элементы сразу. Вопрос: можно ли выкинуть все элементы хоть каким-либо способом? Порядок выкидывания существует такой? Или по любому у нас останется хоть один элемент? Естественно, мы считаем, что всю бесконечность последовательных шагов в состоянии выполнить.

[Someone]

Ну что уж Вы так разволновались? Если хочется, можно всё выкинуть. Если захочется, можно один элемент оставить. Как хотите.

Пусть у нас есть счётное линейно упорядоченное множество $M$, не имеющее ни наибольшего, ни наименьшего элемента (Вы именно такое множество указали в своём первом сообщении). Занумеруем его натуральными числами, то есть, определим взаимно однозначное отображение $a\colon\mathbb N\xrightarrow{\text{на}}M$, которое элементу $k\in\mathbb N$ ставит в соответствие элемент $a_k\in M$.
Если мы хотим удалить все элементы, то мы просто удаляем их в порядке нумерации: $a_1,a_2,a_3,\ldots$. Если мы уже удалили $n\geqslant 0$ элементов, то у нас по прежнему осталось множество, не имеющее наименьшего элемента, и мы можем удалить $a_{n+1}$, поскольку он не наименьший, и ничто не помешает нам его удалить (по Вашему правилу нельзя удалить только наименьший элемент). Поэтому никаких препятствий не возникнет, и мы благополучно удалим все элементы.
Если же мы хотим оставить какой-нибудь один элемент $a\in M$, то, обнаружив на $k$-ом шаге, что $a_k=a$, мы его просто пропустим и не будем удалять. Тогда все остальные элементы мы удалим, а этот элемент останется, и удалить его будет нельзя.

Множество целых чисел можно занумеровать, например, в таком порядке: $0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots$

[Dialectic]

Спасибо всем участник дискуссии за помощь. И особенный респект
Someone