Будет ли множество пустым?

[Dialectic]

Дано некоторое упорядоченное, бесконечное и неограниченное ни сверху ни снизу множество M. Из этого множества, мы можем «выкидывать» некоторые элементы. То есть, если для некоторого числа z, существует меньшее него число, то само число z, мы можем выкинуть. Известно, что для каждого элемента существует меньший него. Верно ли тогда, что мы можем выкинуть вообще все элементы из начального множества?

[Brukvalub]

Dialectic в сообщении #183667 писал(а):

Верно ли тогда, что мы можем выкинуть вообще все элементы из начального множества?

Некорректный вопрос, поскольку не определена операция: "само число z, мы можем выкинуть"

[Dialectic]

Brukvalub писал(а):

Dialectic в сообщении #183667 писал(а):

Верно ли тогда, что мы можем выкинуть вообще все элементы из начального множества?

Некорректный вопрос, поскольку не определена операция: "само число z, мы можем выкинуть"

А что именно непонятно? Сам способ как мы будем их удалять? Или что?

[neo66]

Непонятно, по очереди мы их выкидываем или все сразу. Если все сразу, то ответ положительный. Если по очереди, то ответ отрицательный (возьмите в качестве упорядоченного множества, множество действительных чисел).

[Dialectic]

neo66 писал(а):

Непонятно, по очереди мы их выкидываем или все сразу. Если все сразу, то ответ положительный. Если по очереди, то ответ отрицательный (возьмите в качестве упорядоченного множества, множество действительных чисел).

А почему во втором случае ответ отрицательный? Впрочем, ответ ясен это потому, что множество R не счётно. Хорошо, тогда изменим задачу: множество M у нас счётно.
Что будет в этом случае тогда? Видимо и в том другом случае ответ будет положительный?
Или нет?

[neo66]

А что такое неограниченное сверху множество?

Пусть М - счетно. Занумеруем как нибудь его элементы. Возьмем элемент с номером 1. Для него есть меньший элемент. Значит его можно выкинуть. То множество, которое осталось продолжает удовлетворять условию задачи. Поэтому можно выкинуть элемент с номером 2. Ну, и так далее.

[Someone]

Dialectic в сообщении #183681 писал(а):

Хорошо, тогда изменим задачу: множество M у нас счётно.
Что будет в этом случае тогда? Видимо и в том другом случае ответ будет положительный?

Нет. Возьмём множество целых чисел. И поочерёдно выкинем все числа, кроме нуля (или любого другого, какое Вам понравится).

Dialectic в сообщении #183681 писал(а):

А почему во втором случае ответ отрицательный? Впрочем, ответ ясен это потому, что множество R не счётно.

Ну, мы можем использовать трансфинитную индукцию до первого ординала мощности континуум. И выкинуть все числа, кроме нуля (или любого другого, какое Вам понравится).

[Dialectic]

neo66 писал(а):

А что такое неограниченное сверху множество?

Тоже, что и снизу только наоборот
А к чему Вы это спрашиваете? Какое отношение это имеет к задаче?

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Someone писал(а):

Dialectic в сообщении #183681 писал(а):

Хорошо, тогда изменим задачу: множество M у нас счётно.
Что будет в этом случае тогда? Видимо и в том другом случае ответ будет положительный?

Нет. Возьмём множество целых чисел. И поочерёдно выкинем все числа, кроме нуля (или любого другого, какое Вам понравится).

Хм... А почему нуль та останется? Разве для него не существует меньшего?

[Someone]

Dialectic в сообщении #183689 писал(а):

А почему нуль та останется? Разве для него не существует меньшего?

А мы их все выкинем раньше. И когда он останется один, для него уже не будет меньшего.

[Dialectic]

Someone писал(а):

Dialectic в сообщении #183689 писал(а):

А почему нуль та останется? Разве для него не существует меньшего?

А мы их все выкинем раньше. И когда он останется один, для него уже не будет меньшего.

Ах, вон оно что... Гм... Как же сформулировать та задачу... не знаю даже.
Мне бы хотелось, чтобы мы выкидывали ни как попало, а в некотором порядке. Вот скажем мы выкинули число пять. Затем мы выкидываем не число три, а число четыре, и тольео затем число три. На у после трёх выкидываем естественно два, затем один и т.д.
Останутся ли тогда элементы в исходном множестве?

[ewert]

Тогда утверждение сводится, собственно, вот к чему. Имеем счётное множество (а если оно несчётно, то процедура, естественно, невозможна). И вопрос: если оно (множество) не ограничено сверху, то можем ли мы его пронумеровать так, что каждый новый член последовательности меньше одного из ещё не пронумерованных?

Да, конечно, можем. Более того -- не сможем никак иначе.

[Someone]

То есть, Вы хотите выкинуть сначала число 5 и все меньшие его? Тогда (после бесконечной последовательности выкидываний) останутся числа, бóльшие 5. Среди них есть наименьшее (число 6), вот оно и останется, когда мы выкинем все бóльшие.

Добавлено спустя 2 минуты 17 секунд:

В общем, результат зависит от порядка выкидывания.

[gefest_md]

А от чего зависит возможность дать индуктивное определение некоторого множества? Счетность?

[Someone]

gefest_md в сообщении #183697 писал(а):

А от чего зависит возможность дать индуктивное определение некоторого множества? Счетность?

В смысле? Канторово совершенное множество определяется индуктивным построением по множеству натуральных чисел, однако несчётно.

[Dialectic]

ewert писал(а):

Тогда утверждение сводится, собственно, вот к чему. Имеем счётное множество (а если оно несчётно, то процедура, естественно, невозможна). И вопрос: если оно (множество) не ограничено сверху, то можем ли мы его пронумеровать так, что каждый новый член последовательности меньше одного из ещё не пронумерованных?
Да, конечно, можем. Более того -- не сможем никак иначе.

Пронумеровать та мы можем. Но что-то я ни вижу связи с исходной задачей.
Меня интересует вопрос: мы выкинем все элементы или обречены на то, что у нас всегда что-нибудь останется? Понятно, что если что-то и останется, так это только один элемент. Будь их два, какой-либо будет меньше другого, и стало быть - выкинется. То есть стоим перед альтернативой: либо один, либо ничего. Мне нужно убедится, что последнее может иметь место. Пока не вижу ясно этой возможности.

Добавлено спустя 2 минуты 42 секунды:

Someone писал(а):

В общем, результат зависит от порядка выкидывания.

Someone а скажите пожалуйста: можно ли порядок выкидования организовать так, чтобы выкинуть все элементы?