Система образующих группы

[Mikhail Sokolov]

Пусть $(A,+)$ - подгруппа группы действительных чисел $R$ относительно сложения. Предположим, что минимальная система образующих группы $(A,+)$ бесконечна.
Следует ли из этого, что $A$ является всюду плотным подмножеством $R$?

Спасибо.

[neo66]

Ну, пусть $A$ не плотна в $R$. Тогда в $A$ существует минимальный по модулю, отличный от нуля, элемент.

[Mikhail Sokolov]

neo66
Спасибо! Получается, в качестве контрпримера достаточно взять группу, система образующих которой совпадает с множеством простых чисел...

[id]

Хм, а сколько образующих будет у такой группы?

[Mikhail Sokolov]

Если число 1 не является простым, то, я так понимаю, бесконечно много. Или я путаюсь в определениях?

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

Мда... Погорячился. Единственная образующая - 1.

[id]

Даже если не считать единицу простым числом, любое нечетное число можно представить в виде суммы тройки и некоторого числа двоек. Четное - еще проще.

В данном смысле, известно, мощность системы образующих неэквивалентна "размерности".

[Someone]

А что, разве минимальность системы образующих требуется?

[Mikhail Sokolov]

А как же тогда продолжить рассуждения neo66? Ведь, если я правильно понял, это доказательство от противного. Например, если б было дополнительно дано, что множество образующих ограничено, то из него можно было бы выделить сходящуюся подпоследовательность. Разность близ стоящих членов этой подпоследовательности стремилась бы к нулю, что противоречило бы существованию минимального, отличного от нуля элемента $A$.
А как действовать в общем случае?

[id]

Если интуитивно что приходит на ум - занумеровать и последовательно формировать наименьшие по модулю лин. комбинации образующих, последовательностей модулей будет убывать ( грубо говоря, "укладывая отрезок в другой").

[neo66]

По-моему, все предельно просто. Если $A$ не плотно в $R$, то в $A$ существует минимальный положительный элемент, который и является образующей этой группы.

[Someone]

Это так, но в условии никаких ограничений на систему образующих не указано. Множество всех элементов подгруппы, вне всякого сомнения, является системой образующих. Берём подгруппу $A=\mathbb Z\subset\mathbb R$.

[neo66]

Someone писал(а):

Это так, но в условии никаких ограничений на систему образующих не указано. Множество всех элементов подгруппы, вне всякого сомнения, является системой образующих. Берём подгруппу $A=\mathbb Z\subset\mathbb R$.

Я так понял условие, что в $A$ не существует конечной системы образующих.

[Someone]

Может быть, условие можно так истолковать, но это как-то неоднозначно. Мне это в голову сразу не пришло. Но, может быть, я тут не прав.

[gris]

Мне пришли в голову некоторые соображения.
1. Любая не всюду плотная группа, как уже говорилось, изоморфна $\mathbb Z$.

2. В $\mathbb Z$ можно построить независимую систему из любого числа образующих. Под независимой системой я подразумеваю такую, что её нельзя уменьшить выбрасывая один из элементов. Что-то типа базиса.
Я бы её построил так. Возьмём $k$ простых чисел. Образуем $k$ произведений по $k-1$ числу. Они будут образовывать минимальную систему образующих.
Есть теорема, что из двух чисел, не имеющих общего делителя (взаимно простых), можно построить целочисленную линейную комбинацию равную 1.
Если же у чисел есть общий делитель, то порождённая группа будет состоять из всех кратных этому делителю. В нашей системе любая подсистема будет иметь общий делитель.

3.Отсюда, в общем, следует, что $\mathbb Z$ не имеет бесконечной независимой системы образующих.

4. Если в группе можно построить конечную систему образующих, то она изоморфна $\mathbb Z$.

5. Во множестве рациональных чисел существует бесконечная независимая система образующих. Это дроби, обратные к простым числам.

6. Группа с образующими $\{1;\sqrt 2\}$ , будет всюду плотной в $\mathbb R$. Как и с системой, состоящей из произвольного числа корней из простых чисел.

Извините, если сказал что-то совсем тривиальное

[Mikhail Sokolov]

Наверное, я не очень хорошо сформулировал условие, имелось в виду, что

neo66 писал(а):

... в $A$ не существует конечной системы образующих.

1. Используя идею id, можно показать, что при добавлении в систему образующих еще одного элемента, минимальный по модулю, отличный от нуля, элемент $A$ уменьшается более, чем в 2 раза. Соответственно, при неограниченном росте числа образующих он стремится к нулю. Т.е. $A$ всюду плотна в $R$.

2. Еще одну идею предложили neo66 и gris: если система образующих группы $A$ содержит хотя бы два "независимых" элемента $a_1$ и $a_2$, то они с необходимостью несоизмеримы (т.е. $a_1/a_2$ - число иррациональное) и значит $A$ всюду плотна в $R$.