ДУВЧП

[Alexiii]

Надо построить хар. кривые и направления ур-ия $yu_{xx}+xu_{yy}=0$.
Ясно,что оно параболическое на осях координат (здесь исключено начало координат,так как ур-ие теряет смысл),эллиптическое - в первой и третьей координатных четвертях,гиперболическое - во второй и четвертой четвертях,так как детерминант хар. формы ур-ия равен $yx$.

Для касательного вектора к хар. кривым имеем

$$ydy^{2}+xdx^{2}=0$$

, откуда имеем для хар. направления

$$\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{-\frac{x}{y}}$$

.

В параболической области имеем $dx=0,dy=0,x=const=0,y=const=0$, то есть хар. кривые - оси координат,а хар. направления - вдоль тех же осей координат.

В эллиптической области имеем

$$\frac{dy}{dx}=\pm i\sqrt{\frac{x}{y}}$$

, а хар. кривые такие -

$$y^{\frac{3}{2}}\pm i x^{\frac{3}{2}}=C$$

в первой четверти и

$$(-y)^{\frac{3}{2}}\pm i (-x)^{\frac{3}{2}}=C$$

в третьей.
Рисовать эти кривые нельзя,так как они невещественные,как и хар. направления.

В гиперболической же области имеем для хар. направления

$$\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{-\frac{x}{y}}$$

,а для хар. кривых

$$y^{\frac{3}{2}}\pm (-x)^{\frac{3}{2}}=C$$

во второй четверти и

$$(-y)^{\frac{3}{2}}\pm x^{\frac{3}{2}}=C$$

в четвертой.
Тут при $C=0$ получаются хар. прямая $y=-x$, а при произвольном ненулевом $C$ будут отсекаться во второй и четвертой четвертях параллельные меж собой секторные дуги,причем выпуклые вверх - во второй четверти и вогнутые вниз - в четвертой. Ясно,что хар. направления в точках пересечения этих дуг с осями будут перпендикулярны этим осям.
Вот так будет выглядеть представительница хар. кривых во второй четверти:

А так - в четвертой:


Спрашивается, правильно ли все,так как чую неладное ?
Спасибо всем за внимание!

[Alexiii]

По-моему,все правильно!