2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 ДУВЧП
Сообщение01.02.2009, 18:13 
Аватара пользователя
Надо построить хар. кривые и направления ур-ия $yu_{xx}+xu_{yy}=0$.
Ясно,что оно параболическое на осях координат (здесь исключено начало координат,так как ур-ие теряет смысл),эллиптическое - в первой и третьей координатных четвертях,гиперболическое - во второй и четвертой четвертях,так как детерминант хар. формы ур-ия равен $yx$.

Для касательного вектора к хар. кривым имеем $$ydy^{2}+xdx^{2}=0$$, откуда имеем для хар. направления $$\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{-\frac{x}{y}}$$.

В параболической области имеем $dx=0,dy=0,x=const=0,y=const=0$, то есть хар. кривые - оси координат,а хар. направления - вдоль тех же осей координат.

В эллиптической области имеем $$\frac{dy}{dx}=\pm i\sqrt{\frac{x}{y}}$$, а хар. кривые такие - $$y^{\frac{3}{2}}\pm i x^{\frac{3}{2}}=C$$ в первой четверти и $$(-y)^{\frac{3}{2}}\pm i (-x)^{\frac{3}{2}}=C$$ в третьей.
Рисовать эти кривые нельзя,так как они невещественные,как и хар. направления.

В гиперболической же области имеем для хар. направления $$\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{-\frac{x}{y}}$$,а для хар. кривых $$y^{\frac{3}{2}}\pm (-x)^{\frac{3}{2}}=C$$ во второй четверти и $$(-y)^{\frac{3}{2}}\pm x^{\frac{3}{2}}=C$$ в четвертой.
Тут при $C=0$ получаются хар. прямая $y=-x$, а при произвольном ненулевом $C$ будут отсекаться во второй и четвертой четвертях параллельные меж собой секторные дуги,причем выпуклые вверх - во второй четверти и вогнутые вниз - в четвертой. Ясно,что хар. направления в точках пересечения этих дуг с осями будут перпендикулярны этим осям.
Вот так будет выглядеть представительница хар. кривых во второй четверти:
Изображение
А так - в четвертой:
Изображение

Спрашивается, правильно ли все,так как чую неладное :lol: ?
Спасибо всем за внимание!

 
 
 
 
Сообщение01.02.2009, 23:54 
Аватара пользователя
По-моему,все правильно!

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group