Устойчивость линейной системы

[Alexey1]

Дана нелинейная система ОДУ. Необходимо проверить устойчивость в определённой точке. Действуем по стандартному алгоритму. Линеаризуем систему в данной точке и ищем собственные значения матрицы коэффициентов. Скажите, если дана линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений и вещественная часть собственных чисел матрицы коэффициентов равна нулю (мнимая часть $+- i$). Можно сказать что-нибудь про устойчивость системы? Дело в том, что подсказали, что если собственные векторы независимы, то система устойчива, но вот такой результат я в книжках не встречал.

[ewert]

Я не помню, но -- сильно сомневаюсь. Дело в том, что "независимость собственных векторов" (а имелась в виду явно диагонализуемость матрицы) действительно даёт устойчивость для чисто линейных систем. Однако "нежордановость" матрицы -- вещь неустойчивая относительно малых возмущений. Да и неположительность вещественных частей верна в нелинейном случае лишь в первом приближении.

[LynxGAV]

Alexey1 писал(а):

Дана нелинейная система ОДУ. Необходимо проверить устойчивость в определённой точке. Действуем по стандартному алгоритму. Линеаризуем систему в данной точке и ищем собственные значения матрицы коэффициентов. Скажите, если дана линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений и вещественная часть собственных чисел матрицы коэффициентов равна нулю (мнимая часть $+- i$). Можно сказать что-нибудь про устойчивость системы? Дело в том, что подсказали, что если собственные векторы независимы, то система устойчива, но вот такой результат я в книжках не встречал.

Если в системе $n$ уравнений, у двух комплексно-сопряженных собственных значений действительные части зануляются в некоторой точке -- это обозначает переход через мнимую ось и бифуркацию Хопфа(-Андронова-Пуанкаре) и рождение периодической траектории, которая бывает устойчивой и неустойчивой. Почитайте об этой бифуркации где-нибудь. Wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_bifurcation.

[Alexey1]

ewert писал(а):

Дело в том, что "независимость собственных векторов" (а имелась в виду явно диагонализуемость матрицы) действительно даёт устойчивость для чисто линейных систем.

Скажите, а где это можно прочитать (желательно с доказательством) в интернете?

LynxGAV писал(а):

Почитайте об этой бифуркации где-нибудь. Wiki: http://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_bifurcation.

Ссылка не работает.

[LynxGAV]

Уберите точку в конце ссылки и заработает: http://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_bifurcation . Или читайте в любом месте о бифуркации Хопфа (например, первые две книги в статье Wiki).

Добавлено спустя 3 минуты 8 секунд:

Вот ссылка Кузнецова: http://www.scholarpedia.org/article/And ... ifurcation

[Jnrty]

LynxGAV в сообщении #182809 писал(а):

Уберите точку в конце ссылки и заработает

LynxGAV, обратите, пожалуйста, внимание на тег URL:

[url]...[/url]

Пишете ссылку, выделяете её и щёлкаете по кнопке URL. И никакие посторонние точки туда не пролезут.

[LynxGAV]

Jnrty писал(а):

Пишете ссылку, выделяете её и щёлкаете по кнопке URL. И никакие посторонние точки туда не пролезут.

Я знаю, спасибо за напоминание..

[ewert]

а я вот, кстати, не знаю. Уж сколько раз так случается: выделишь, щёлкнешь на кнопку -- и нуль-эффект. Приходится пальчиками вставлять. (Хотя иногда, как ни странно, и на автомате получается.)

Пардон за оффтопик.

[bot]

Alexey1 в сообщении #182800 писал(а):

... если собственные векторы независимы, то система устойчива, но вот такой результат я в книжках не встречал.

Потому и не встречали, что это неверно. Чтобы убедиться в этом, не нужно даже знать, что такое бифуркация.
Если при линеаризации системы двух уравнений получается система с собственными числами $\pm i$, то собственные векторы линейно независимы, поскольку принадлежат разным собственным числам.
На ум как то сразу приходит система с неустойчивым нулевым решением

$\Big\{ \begin{matrix} \dot{x} = -y+x^3\\ \dot{y} = x +y^3 \end{matrix}$

и с устойчивым

$\Big\{ \begin{matrix} \dot{x} = -y-x^3\\ \dot{y} = x -y^3 \end{matrix}$

Функция Ляпунова в обоих случаях одна и та же $v=x^2+y^2$

[мат-ламер]

В вопросе фигурировала линейная система. Рассмотрим математический маятник без трения. Запущенный однажды, он будет колебаться вечно. А малыми нелинейными возмущениями (как в предыдущем посту) его можно либо притормозить, либо пустить вразнос.

[ewert]

Изначально речь шла о нелинейной системе. Её устойчивость гарантируется устойчивостью по первому приближению только в том случае, если соответствующая линейная система устойчива с некоторым запасом. Т.е. если собственные числа лежат строго в левой полуплоскости.

[мат-ламер]

В вопросе имелось виду как данная линейная система будет ввести себя в зависимости от правой части в виде функций зависящих от времени ( а не от состояния системы). Если эти функции имеют тот же период, что имеет система без правой части, то мы можем получить явление резонанса и система пойдёт в разнос. Но она может и затормозиться, в зависимости от знака возмущения. Так что ничего конкретного сказать нельзя.

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

Вообще непонятно, в исходном вопросе автор спрашивает (Можно что-то сказать про устойчиость системы?). Какую систему он имеет в виду - исходную нелинейную или линеаризованную?

[bot]

А чего про линеаризованную спрашивать? ...

А-а-а, кажется понял в чём был вопрос. Он как раз относится к вопросу об устойчивости самой линейной системы.
Не про линейную независимость собственных векторов разумеется надо говорить, а про существование или не существование собственного базиса. Если он есть - устойчива, хотя и неасимптотически (хождение по циклу в фазовом пространстве), а если нет, то корневые вектора высоты большей первой пустят систему в разнос.

[ewert]

Если автора ещё интересует, почему это так (а он просил ссылки), то например вот. Решение системы $\vec y'=A\vec y$ имеет вид $\vec y(t)=e^{tA}\cdot\vec y(0).$ Явное выражение для матричной экспоненты достаточно внятно и коротко изложено, например, тут:

http://math.nw.ru/~budylin/repl/exp/index.html

Отсюда всё и следует.

[Alexey1]

Спасибо всем за ответы. Тем не менее, у Вас есть система (линейная) у которой собственные числа $+-i$. Является ли данная система устойчивой и почему?